三章 向量空间.pptVIP

向量的运算 设k和l为两个任意的常数， §4 矩阵的秩及其行秩列秩 R(A) ≥r 的充要条件是至少有一个r 阶子式不为零。 R(A) ≤r 的充要条件是所有阶数大于r 的子式都为零。 设A=(aij)n×n，则R(A) n的充要条件是|A|=0。 如果 R(A) =r1， R(B) =r2，则矩阵 的秩 为r1＋ r2；矩阵 的秩≥r1＋ r2； n阶方阵A， 即A为可逆矩阵（也称为满秩矩阵） 把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可看作由这些行向量组成（行向量组）；把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可看作由这些列向量组成（列向量组）。 §5 向量空间的基 例1 在三维几何空间坐标系下所有矢量的坐标 的集合构成一个三维向量空间. 记 例2 集合 构成一个数域 R上的向量空间. 例3 集合 不构成向量空间. n维向量有着广泛的实际意义 （1） 飞机的中心在空中的位置（6个参数） （2） 观察人的体重（n个参数） 例如：对于向量组 T ： ?1 = ( 1, 2, －1), ?2 = (2, －3, 1) , ?3 = (4, 1, －1) ?1, ?2 为 T 的一个最大无关组; ?2 , ?3 ; ?1, ?2 , ?3线性相关，因为 2?1+?2－?3 = 0 ?1, ?3 也是 T 的最大无关组。 注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。 可见：一个向量组的极大无关组不一定是唯一的 推论 秩为r的向量组中任意含r个向量的线性无关的部分组都是极大无关组。 性质3 性质1 一向量组的极大无关组与向量组本身等价。 性质2 一向量组的任意两个极大无关组（若存在） 都等价。 向量组中的任一向量都可以由它的极大 无关组a1，a2 ，… ，ar 线性表示。 容易得到以下结论 性质4 向量组 线性无关的充要条件是 性质5 向量组 线性相关的充要条件是 定理6 任意n+1个n维向量 必线性相关。 推论 当mn（向量个数大于向量维数）时, m个n维向量组线性相关。 定理7 设两个n维向量组 的极大无关组所含向量个数分别为 ，如果 组可由 组线性表示，则 。 两个向量组等价的充要条件是它们的极大无关组等价。 定理5 因为 证明　用反证法 假设 因为 组可由 组线性表示 其中 因为 ， 线性相关 即存在不全为零的数 使得 亦即 所以 由于 不全为零， 线性相关，与已知矛盾 故 推论1 两个等价的向量组的极大无关组所含向量的个数相等。 推论2 同一个向量组的两个极大无关组所含向量个数相同。 推论3 若向量组的一个极大无关组所含向量个数为r，则该向量组中任意r个线性无关的向量都是其极大无关组。 推论4 两个等价的向量组的秩相同。 例5 设有三个向量组 ； 它们的秩依次为 ，则 例6 设 求该向量组的一个极大无关组。 根据书47页例4的 结论 与 有相同的 相关性 例7 求矩阵A的列向量组的一个极大无关组，并且把其余的列向量用极大无关组线性表示。 行阶梯形矩阵 行最简形矩阵 定义1 在矩阵A=(aij) m?n中任选k行和k列，位于这些选定的行和列的交叉点上的k2个元素按原来的顺序构成的k 阶的行列式，称为A的一个k阶子式。 显然，k ≤ min{m , n}。 定义2 如果非零矩阵A有一个r阶子式dr≠0，而所有r+1阶子式（如果存在）全为零, 则称dr 是A的一个最高阶非零子式，数 r称为矩阵A的秩，记作R(A)=r 特别的，零矩阵的秩为0。 显然 的秩为 则R(A)=3。 易证： 定理1 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A～B，则R(A)=R(B)。（书证明略） 求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等（行、列）变换化成行阶梯形矩阵，则