二章 行列式.pptVIP

第 二 章 行列式的概念 n 阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开定理 行列式的计算 再论可逆矩阵 引入行列式的定义后，二元一次线性方程组的解可以用二阶行列式表示。 利用分块矩阵的广义初等变换，可以证明以下结果： 再依次将第n+1行的ak1倍(k=2,3, …,n)，第n+2行的ak2倍，…第2n行的akn倍加到第k行，得 得： 由定理4 的推论得 证明完毕。 *设A , B是 n 阶方阵, 则 证明过程： 有了上述定理的结论之后，再换个角度看定理的结论。 设A、B均为n阶方阵，λ为一实数， 证明 证明： 当λ=0时显然等式成立。 当λ≠0时，根据分块矩阵的广义初等变换 与初等方阵的关系可知， 例 5 另外， 有 故 例1 计算 §5 行列式的计算 一、对角线法则 此时，要结合行列式的各种性质，加以简化计算。另外，这个方法只适合二阶及三阶行列式。 二、化为三角形行列式 例2 计算 例 3 求第一行各元素的代数余子式之和 解 第一行各元素的代数余子式之和可以 表示成 例4 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 三、数学归纳法 证明 用数学归纳法 (1)当n=2时, 结论成立. （只适合证明题） (2) 设对n－1阶范德蒙德行列式结论成立，来证对n阶范德蒙德行列式结论也成立. n-1阶范德蒙德行列式 证毕. 有的行列式可以利用范德蒙行列式的结论进行计算 例5 计算 例6　计算 例4 证明 上面的行列式中，未写出的元素都是0。 证: 行列式的值为 若乘积非零，j1j2…jn只能是排列n(n－1)…2 1， 它的逆序数为 所以行列式的值为 例如 而 例 5 证明 利用行列式的定义去计算行列式，显然是 很麻烦的．对于阶数较高的行列式这样去计算 几乎是不可能的，所以我们有必要去研究行列 式的性质和找到能够比较快地进行计算的方法． §3 行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等 。 行列式DT 称为行列式D的转置行列式。 即： 证： 记 即bij＝aji (i，j＝1，2，…，n) *或者设 则 性质2 互换行列式的两行（列），行列式反号。 证 交换第p、q两列，得行列式 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 对于D中任一项 在D1中必有对应一项 与 只经过一次对换 所以对于D中任一项，D1中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又D与D1的项数相同。 推论 若行列式有两行（列）元素对应相等，则行列式为零。 性质3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式。 性质4 行列式中若有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零。 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外面。 *设A为n阶方阵， 则 性质5 若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，例如 则行列式D等于下列两个行列式之和： 性质6 把行列式某一行（列）的元素乘以数k，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。 以数k乘以第i行上的元素加到第j行对应元素上，有 例1 求 =(。。。=0) 解：原式 例2 计算四阶行列式 解　观察此行列式知，它具有以下特点：各 行的元素之和都相等．因此，把第２，３，4行都 加到第１行上，提取公因子，然后各行减去第1行， 得 例3 求 例 4 计算行列式 例5　 证明 例6 证明： §4 行列式按行（列）展开定理 定义 n阶行列式中，划去元素aij所在的行和列，余下的元素按其原有的位置构成的n－1阶行列式叫做元素aij的余子式，记为Mij 。 Aij叫做元素aij的代数余子式。 显然，Aij与行列式中第i行、第j列的元素无关。 （先观察上节例1 P41） 引理 n阶行列式D，如果其中第i行元素除aij外全部为零，则行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即D＝aijAij 证 先证i＝1，j＝1的情形 设 D 的第 i 行除了 外都是 0 . 把 D 的第 行依次与第 行，第 行，······ 第2行，第1行交换；再将第 列依次与第 列 第 列，······， 第2列，第1列交换，这样共经过 次交换行与交换列的步骤. 对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置，即可得到结论。 得 定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 证 例1 同样的