2010硕士矩阵分析.doc

2010/2011第一学期研究生 考试科目：矩阵分析试题 填空题（每题空4分，共24分）: 1.在欧氏空间中，满足条件的正交基的度量矩阵=（ ）. 2. 设，则矩阵幂级数收敛的充要条件是（ ）.当矩阵幂级数收敛时，它的和为（ ）（注：不用具体算出，用A表达即可）. 3.已知则的Jordan标准形 4.已知则 5. 则=（ ）. 6. 已知则=（ ）. 设矩阵空间的子集 证明是的子空间，并求的一个基； 给定中的变换，证明是线性变换； 求的一个基，使在该基下的矩阵表示为对角矩阵.（15分） 设，求矩阵的奇异值分解。（15分） 设Hermite二次型 写出Hermite二次齐式的矩阵表达式； 求酉变换化Hermite二次型为标准型； 判断Hermite二次齐式是否为正定二次型。（15分） 设矩阵，求1.矩阵的最小多项式；2.矩阵函数； 3.用矩阵函数方法求解微分方程满足初始条件的解，其中。（15分） 若证明为非奇异矩阵，且 其中范数是矩阵的算子范数.（15分） 复习要点： 第一章：向量在基下的坐标及在不同基下的坐标变换公式 线性变换在某组基下的矩阵表示及在不同组基下的矩阵表示的关系 线性变换的核空间，值域的基和维数 第二章：Jordan标准形 第三章：内积，特殊矩阵的性质，Hermite矩阵，正规矩阵，酉矩阵，正交矩阵，正定矩阵的性质，如何求标准正交基 第四章：掌握满秩分解，正交三角分解，谱分解；奇异值分解，极分解的概念性质、 第五章：向量、矩阵范数，矩阵序列的收敛判断，矩阵幂级数的收敛判断并求和 第六章：会求矩阵函数，Jordan表示，多项式表示，幂级数表示， 第七章：微分方程求解 答案 一、填空 1. 2. ； 3. 4. 3，3，18，6 5. 6. 二解：