2011-2013华约数学答案.docx

2013参考答案2012年“华约”高水平大学自主选拔学业能力测试数学部分注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）在锐角中，已知,则的取值范围为（）(A) (B) (C) (D) 解：由于因为是锐角三角形所以。选A.（2）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（）(A) 36种 (B) 60种 (C) 90种 (D)120种解：从6个位置中，先给两个車选位置，有种方法，由于总是红棋子在前，蓝棋子在后，所以只有一种排法，因此車总共有种排法；继续排马，有种，剩下两个位置自然是炮，因此总共有90种排法，选C。（3）正四棱锥中，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成二面角为，侧棱与底面正方形的对角线所成角为，相邻两侧面所成二面角为，则之间的大小关系是（B ） (A) (B) (C) (D) 解：设正四棱锥的高是可求因为所以，下面求，过作于，连接，由对称性，可知，所以为二面角的平面角，可以计算出，所以为钝角.选B.（4）向量，。若，则（）(A) (B) (C) (D) 解析：由于，那么，即，从而有即，，因此，得到，即。因此有，从而。选C（5）若复数的实部为0，是复平面上对应的点，则点的轨迹是( )(A) 一条直线 (B) 一条线段 (C) 一个圆 (D)一段圆弧解：设，解得，，因此的轨迹是一条直线。（6）椭圆长轴长为4，左顶点在圆上，左准线为轴，则此椭圆离心率的取值范围是（） (A) (B) (C) (D) 解：令其实部为0，所以2x-1=0(yR),这就是所求轨迹的实方程，是一条平行纵轴的直线。（7）已知三棱锥的底面为正三角形，点在侧面上的射影是的垂心，二面角为30°，且，则此三棱锥的体积为（）(A) (B) (C) (D) （8）如图，在锐角中，边上的高与边上的高交于点。以为直径作圆与的另一个交点为。已知，，，则的长为（）(A) (B) (C)10 (D) 解答:连接DF，则有DF垂直AC,由已知条件有cosB=,cosC=,所以sinB=,sinC=，于是sinA=sin(B-C)=sinBcosC+sinccosB==sinB.因此∠A=∠B,即△ABC为等腰三角形，于是由CD垂直可得AC=25,AD=DB=15,AE=AC-CE=25-7=18.又因为∠CDB=∠CEB=，所以B,C,D，E四点共圆，∠ABC=∠BAE,因此△ADE为等腰三角形，所以，DF 垂直AC知，AF=FE==9（9）已知数列的通项公式为，。是数列的前项和。则（）(A) 0 (B) (C) (D) 解：（10）已知，当取得最大值时，在这十个数中等于的数共有（）(A) 1个 (B) 2个 (C)3个 (D) 4个解：首先要求平方和最大，- 6 10,我们希望有较多的10，但是10的个数不能太多，如果有7 个10，那么和为70，这样剩余的三个数最多能加到18，不能满足和为50，但如果有6个10，剩余4个数做和可以等于-10，从而满足做和为50，这样，我们得到应该有6个10，另一方面，剩余4个数字做和为-10，可取3个- 6，1个8，不难验证，这种组合平方和最大。选C.二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（11）(本小题满分14分)在中，的对边分别为。已知（1）求的大小（2）若，求的值.解：（1）（2）（12）(本小题满分14分)已知两点，动点在轴上的射影是，且求动点的轨迹的方程已知过点的直线交曲线于轴下方不同的两点，设的中点为，过于点作直线，求直线斜率的取值范围。解：设P(x,y),则H(0，y),由令CD:代入，整理得因为直线在x轴下方交P点轨迹于C()，D()两点所以上式有两个负根，由根据韦达定理，得CD中点M的坐标为代入直线MQ的方程y+2=kx,(k为其斜率)得所以，k=,(1.（13）(本小题满分14分)系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件正常工作的事件相互独立，如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作。系统正常工作的概率称为系统的可靠性。某系统配置有个元件，为正整数，求该系统正常工作概率的表