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函数与极限 连续函数的运算与初等函数的连续性 四则运算的连续性 反函数与复合函数的连续性 小结 思考题 作业 初等函数的连续性 第一章 函数与极限 定理1 如, 则 由于 一、四则运算的连续性 也在点 x0连续; 在其定义域内连续. 连续函数的运算与初等函数的连续性 在点 x0连续; 在点 x0连续. 区间套定理 Def 3.10 设一组实数的闭区间序列 满足： 则称 构成一个区间套. Thm 3.16 设 是一个区间套，则必存在唯一的实数 使得 包含在所有的区间里，即 证明：P75 的零点. 定理(方程实根的存在定理) 使得 零点定理 几何意义: 如图所示. 二、介值定理 闭区间上连续函数的性质 证明：用区间套定理P75-76 定理(介值定理) 使得 证 零点定理 闭区间上连续函数的性质 辅助函数 几何意义: 至少有一个交点. 闭区间上连续函数的性质 如, 结论: 反三角函数在其定义域内皆连续 定理2 故 同理, 二、反函数与复合函数的连续性 单调增加 且连续, 单调的连续函数 必有单调的连续反函数. 连续函数的运算与初等函数的连续性 也是单调增加且连续. 单调减少且连续. 单调增加且连续. 单调减少且连续. 证明：使用介值定理P76 此定理对计算某些极限是很方便的. 定理3 设函数 是由函数 与函数 复合而成, 而函数 连续, 则 证 连续函数的运算与初等函数的连续性 将上两步合起来: 连续函数的运算与初等函数的连续性 意义 例 解 可交换次序; 由 所以 2. 变量代换 的理论依据. 1. 在定理的条件下, 定理3 则有 连续函数的运算与初等函数的连续性 例 解 这里 不连续, 但 所以 定理3 则有 连续函数的运算与初等函数的连续性 例 解 同理可得 连续函数的运算与初等函数的连续性 定理4 设函数 是由函数 与函数 复合而成, 若函数 连续, 而函数 连续, 则复合而成 也连续. 是由连续函数 因此 复合而成 例 连续函数的运算与初等函数的连续性 三角函数及反三角函数 (1) (2) (3) 是连续的; 三、初等函数的连续性 单调且连续; 证明：P74 指数函数 对数函数 单调且连续; (均在其定义域内连续 ) (4) 幂函数 连续; 讨论 不同值. 在它们的定义域内 基本初等函数在定义域内是连续的. 连续函数的运算与初等函数的连续性 定义区间是指包含在定义域内的区间. 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数 在定义区间内 连续 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 如, 这些孤立点的邻域内没有定义. 注　 在其定义域内不一定连续; 连续函数的运算与初等函数的连续性 例 例 解 解 2. 初等函数求极限的方法 注　 代入法. 连续函数的运算与初等函数的连续性 连续函数的运算与初等函数的连续性 解 四、小结 连续函数的和差积商的连续性; 复合函数的连续性: 初等函数的连续性: 求极限的又一种方法. 两个定理; 两点意义. 反函数的连续性; 定义区间与定义域的区别; 连续函数的运算与初等函数的连续性 思考题1 连续函数的运算与初等函数的连续性 如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点x0不 那么, f (x) + g(x)在该点是否连续? 连续, 思考题2 (是非题) 处有定义,则 解答 连续函数的运算与初等函数的连续性 思考题1 如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点x0不 那么, f (x) + g(x)在该点是否连续? 连续, (1) 若两个函数 中只有一个在点x0不连续, 则f (x) + g(x)在点x0必不连续. 用反证法证之: 不妨设在点x0, 并假设 f (x) + g(x)在点x0连续, 则由连续函数的运算性 质有: 在点x0连续, 与已知矛盾. 故 f (x) + g(x)在点x0不连续. f (x)连续, g(x)不连续; 解答 连续函数的运算与初等函数的连续性 思考题1 如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点x0不连续, (2) 若f (x)、g(x)在点x0均不连续,则 在f (x) + g(x)在点x0可能连续, 那么, f (x) + g(x)在该点是否连续? 也可能不连续. 如: 在 x = 0处均不连续, 在 x = 0处 在 x = 0处连续. 在 x = 0处均不连续, 在 x = 0处亦不连续. 思考题2 (是非题) 处有定义,则 连续函数的运算与初等函数的连续性 非 故 但 连续函数的运算与初等函数的连续性 思考题2 (是非题) 处有定义,则 所以, 不存在. 故 正确的说法是: 在点x0连续, 处亦连续,