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基变换与坐标变换 授课教师：董建强 联系电话 E-mail： djq860707@163.com 2013.11.22 教学目的 了解、掌握同一线性空间中不同基之间的代数转换关系 了解、掌握线性空间中向量在不同基下的坐标变换关系 了解过渡矩阵的概念并掌握过渡矩阵的求解 学会运用过渡矩阵对向量在不同基下的坐标进行转换或求解 教学内容 重点： 1.线性空间中的基变换 2.向量在不同基下的坐标变换 3.过渡矩阵的计算 难点： 1.过渡矩阵的求解 教学过程 一、复习： 线性空间上基、维数和向量坐标 定义：数域P上线性空间V的一组基，就是指在V中存在一组向量 使得这组向量满足两个条件：1) 向量组 是线性无关的. 2) 向量 均可由向量组 线性表出，即存在一组数 使得 则称向量组 为数域P上线性空间V的一组基 一、复习 其中，基向量组所含向量的个数，称为线性空间的维数；数域P中的 称为向量 在基 下的坐标且唯一，记为 二、引入 由前面所学的有关基、维数与坐标，我们还可得知以下两个主要结论： 线性空间中的基并不唯一。基变换问题的提出 向量的坐标是由基所决定的，基不同、坐标往往也不同。坐标变换问题的提出 新课讲解 一、基变换： 设 是数域P上n维线性空间V的两组基，则由基之间的等价关系，有： （1） 注1：在这里为了书写的方便，我们引入一种“形式”的写法，即把向量 一、基变换 写成 这样的话，（1）式就可以写成 （2） 一、基变换 例1：设n维线性空间 中，存在两组基 分别为： 求由基 到基 的过渡矩阵A? 一、基变换 思考1：是否同一n维线性空间中的所有基，与形如上述例1中的单位基之间都存在类似上述的关系呢？ 即，由单位基 到这组基之间的过 渡矩阵是由这组基的基向量按列排列而成 ? 思考2：由基 到基 的过渡矩阵又是什么呢？ 一、基变换 例2：在线性空间 中，设有如下两组基 求由基 到基 的过渡矩阵A? 一、基变换 思考3：n维线性空间 中,对于任意两组基 设有基向量 按列排列构成的矩阵为B，基向量 按列排列构成的矩阵为C，则由基 的过渡矩阵是否为 ? 思考4：验证上述 的求解方法(利用线性方程组的行变换求解法与矩阵直接乘积法进行对比验证) 新课讲解 二、坐标变换： 设 是数域P上n维线性空间V的两组基，对于 不妨设 在这两组基下的坐