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正文 第一章 极限和连续第一节 极限 [复习考试要求] 1.理解极限的概念(对极限定义、、等形式的描述不作要求)。会求函数在一点处的左极限与右极限,了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质,掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 [主要知识内容] (一)数列的极限 1.数列 按一定顺序排列的无穷多个数 称为数列,记作,其中每一个数称为数列的项,第n项。为数列的一般项或通项,例如 (1)1,3,5,…,,… (2) (3) (4)1,0,1,0,…,… 都是数列。 在几何上,数列可看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点。 2.数列的极限 定义对于数列,如果当时,无限地趋于一个常数A,则称当n趋于无穷大时,数列以常数A为极限,或称数列收敛于A,记作 否则称数列没有极限,如果数列没有极限,就称数列是发散的。 数列极限的几何意义:将常数A及数列的项依次用数轴上的点表示,若数列以A为极限,就表示当n趋于无穷大时,点可以无限靠近点A。 (二)数列极限的性质 定理1.1(惟一性)若数列收敛,则其极限值必定惟一。 定理1.2(有界性)若数列收敛,则它必定有界。 注意:这个定理反过来不成立,也就是说,有界数列不一定收敛。 定理1.3(两面夹定理)若数列,,满足不等式且。 定理1.4若数列单调有界,则它必有极限。 下面我们给出数列极限的四则运算定理。 定理1.5 (1) (2) (3)当时, (三)函数极限的概念 1.当时函数的极限 (1)当时的极限 定义 对于函数,如果当x无限地趋于时,函数无限地趋于一个常数A,则称当时,函数的极限是A,记作或(当时) (2)当时的左极限 定义 对于函数,如果当x从的左边无限地趋于时,函数无限地趋于一个常数A,则称当时,函数的左极限是A,记作或  例如函数   当x从0的左边无限地趋于0时,无限地趋于一个常数1.我们称:当时,的左极限是1,即有 (3)当时,的右极限 定义 对于函数,如果当x从的右边无限地趋于时,函数无限地趋于一个常数A,则称当时,函数的右极限是A,记作 或 又如函数 当x从0的右边无限地趋于0时,无限地趋于一个常数-1 。因此有 这就是说,对于函数 当时,的左极限是1,而右极限是 -1,即 但是对于函数,当时,的左极限是2,而右极限是2。   显然,函数的左极限、右极限与函数的极限之间有以下关系: 定理1.6 当时,函数的极限等于A的必要充分条件是 这就是说:如果当时,函数的极限等于A,则必定有左、右极限都等于A。 反之,如果左、右极限都等于A,则必有。 这个结论很容易直接由它们的定义得到。 以上讲的是当时,函数的极限存在的情况,对于某些函数的某些点 处,当时,的极限也可能不存在。 2.当时,函数的极限 (1)当时,函数的极限 定义 对于函数,如果当时,无限地趋于一个常数A,则称当 时,函数的极限是A,记作或(当时) (2)当时,函数的极限 定义 对于函数,如果当时,无限地趋于一个常数A,则称当 时,函数的极限是A,记作 这个定义与数列极限的定义基本上一样,只不过在数列极限的定义中一定表示,且n是正整数;而在这个定义中,则要明确写出,且其中的x不一定是整数。 如函数,当时,无限地趋于常数2,因此有 (3)当时,函数的极限 定义 对于函数,如果当时,无限地趋于一个常数A,则称当时,的极限是A,记作 又如函数,当时,无限地趋于常数2,因此我们说,当时,函数的极限是2,即有 由上述,,时,函数极限的定义,不难看出:时,的极限是A,这表示当且仅当以及时,函数有相同的极限A。 但是对函数来讲,因为有,即虽然当时,的极限存在,当时,的极限也存在,但这两个极限不相同,我们只能说,当时,的极限不存在。 例如函数,当时,无限地趋于常数1:当时,也无限地趋于同一个常数1,因此称当时的极限是1,记作 其几何意义如图3所示. (四)函数极限的定理 定理1.7 (惟一性定理)如果存在,则极限值必定惟一。 定理1.8 (两面夹定理)设函数,,在点的某个邻域内(可除外)满足条件 且有 。 注意:上述定理1.7及定理1.8对也成立。 下面我们给出函数极限的四则运算定理 定理1.9 如果  则 (1) (2) (3)当 时, 上述运算法则不难推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形,并有以下推论: 推论 (1) (2) (3) 用极限的运算法则求极限时,必须注意:这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在,且求商的极限时,还要求分母的极限不能为零,另外,上述极限的运算法则对于的情形也都成立。

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