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§2.4 平方根法与改进的平方根法 对称正定矩阵 平方根法 改进的平方根法 * * 定义 一个矩阵 A = ( aij )n?n 称为对称阵，如果 aij = aji 。 定义 一个矩阵 A 称为正定阵，如果 对任意非零向量 都成立。 ?回顾：对称正定阵的几个重要性质 ? A?1 亦对称正定，且 aii 0 ? A 的顺序主子阵 Ak 亦对称正定 ? A 的特征值 ?i 0 ? A 的全部顺序主子式 det ( Ak ) 0 对称正定阵 将对称 正定阵 A 做 LU 分解 U = uij = u11 uij / uii 1 1 1 u22 unn 记为 A 对称 即 记 D1/2 = 则 仍是下三角阵 定理 设矩阵A对称正定，则存在非奇异下三角阵 使得 。若限定 L 对角元为正，则分解唯一。 注： 对于对称正定阵 A ，从 可知对任意k ? i 有 。即 L 的元素不会增大，误差可控，不需选主元。 Cholesky分解法 设 由比较法得计算公式 计算顺序： 平方根法 平方根法的优点： 无需选主元,算法稳定; 2. 计算量小,乘除运算量为 ,约为高斯法的一半. 3. 计算过程中所需存储单元少. 缺点: 求L时需n次开方运算，从而增大了计算量。 设 2.4.2改进的平方根法 计算公式 记 方程组求解公式 思考：1.为什么引入平方根法与改进的平方根法？ 2.能否用紧凑格式将对称正定矩阵进行 Cholesky分解和 LDLT分解？怎样分解？ 例 设有方程组 = 解 ：
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