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数学物理方程 数学物理方程，通常指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的 偏微分方程，有时也包括与此有关的积分方程、微积分方程和常微分方程。 数学物理方程的导出其实不过是用数学语言把物理规律翻译出来而已。数学物理方程可以解决很多复杂的物理问题。 常见物理问题 波的传播所满足的波动方程 热传导问题和扩散问题中的热传导方程 静电势和引力势满足的Laplace方程和Poisson方程 描写电磁场运动变化的Maxwell方程组 等等 导出的一般步骤 首先要确定研究哪一个物理量，从所研究的系统中划出一个小部分 略去那些不重要的因素，抓住主要的作用，分析临近部分和这个小部分之间的相互作用，把这种关系用数学形式表达出来 简化，整理成数学物理方程，主要是数学关系的化简 化简中的数学方法 行波法 分离变量法 ，积分变换法，`格林函数法 保角法 复变函数法，变分法 定解条件 物理物理方程是同一类现象的共同规律，反映的是该类现象的普遍性的一面，所以导出数学物理方程与初始条件是无关的 但是就物理现象而言，各个具体问题都有其特殊的一面，这就要去研究边界条件和初始条件。 定解条件 在数学上，我们把描写系统初始状态的表示式做初始条件，把描写系统边界状态的表示式叫做边界条件。将初始条件、边界条件（及连接条件）统称为定解条件。 初始条件 对于随着时间而发展变化的问题，必须考虑到研究对象的特殊“历史”，就是说要追溯到早先某个所谓初始时刻的分布，即初始条件。 初始条件就是给出整个系统的初始状态，而不仅是系统个别地点的初始状态。 初始条件 例如：一根长l为而两端固定的弦，用手把它的中点朝横向拨开距离h，然后放手任其振动。写出弦横振动的初始条件。 初始条件 所谓初始时刻就是放手的那个瞬间，初始条件就是放手那个瞬间的弦的位移和速度 边界条件 第一类：直接规定了所研究的物理量在边界上的数值 第二类：规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值 第三类：规定了所研究的物理量及其外法线向导数的线性组合在边界上的数值 定解存在性问题 当定界条件过多时，条件相互矛盾，此时定解不存在 当定解条件过少时，这时候定解就是不唯一的 所以要使定解存在且唯一，定解条件个数不能多也不能少，要恰到好处 定解的稳定性 如果定解问题中已知条件（例如方程或定解条件中已有的函数）解有微小的变化时，解也只有微小的变化。这就可以说解是稳定的 原因:在导出方程时，不可避免地要去做一些简化和近似，会忽略掉一些变量。只有在稳定性允许的范围内做简化和近似才是有意义的 定解的适应性 定解问题的适应性是定解问题存在性，唯一性和稳定性的统称。 只要对实际问题的抽象是合理的，初始条件和边界条件正确描述了物体的实际情况，那么这样构成的定解问题一定是适应的 均匀弦的微小振动 演奏弦乐器的人在弦上来回拉动，弓所接触的只是弦的很小的一段，似乎应该只引起这一小段的振动，实际上振动总是传播到整根弦，弦的各处都振动起来。 但是振动是怎么传播的呢？传播的方程是什么样的呢？ 弦的分析 (1)均匀细弦：弦的线密度 为常数；由于是细弦，所以作为一维空间的问题来处理。 (2)轻弦：弦拉紧时张力大到可忽略重力的影响。 (3)柔软：弦中的张力只能是沿着弦线的切线方向。 数学物理方程的导出 把没有重量的弦绷紧，它在不振动时一根直线，就取这条直线作为x轴，把弦上各点的横向位移记作u。这样横向位移u是x和t的函数，记作u(x,t)。要推导的就是u所遵循的方程。 数学物理方程的导出 数学物理方程的导出 拿区间 (x,x+dx)上的小段B为代表加以研究 简化过程 * * 数学物理方法 学院：物理与光电信息科技学院 专业：光学工程 学号 姓名：郝小龙 x u(x,t) T2 T1 x x+dx 0 设B的长度为 ，则 ， 其中 为弦的横向加速度。 * *