机器人学—数学基础ppt课件.pptVIP

参考教材 [美]付京逊《机器人学》 [中南大学]蔡自兴《机器人学》 [美]理查德·鲍尔《机器人操作手·数学·编程与控制》 参考教材 [美]付京逊《机器人学》 参考教材 [中南大学]蔡自兴 机器人→工作→动作 第一章 机器人位置和姿态的描述 串联机器人可以用一个开环关节链来建模 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具（末端执行器），用以操纵物体，或完成各种任务 动画示例 运动学研究的问题 研究运动学的方法 哈佛大学Roger Brockett建立的指数积公式 运动学 滚动接触 非完整控制 数学基础-刚体运动 参考文献：机器人操作的数学导论 作者：理查德·摩雷 李泽湘 夏卡恩·萨斯特里 翻译：徐卫良 钱瑞明（东南大学） 1955年丹纳维特（Denavit）和哈顿伯格（Hartenberg）提出了一种采用矩阵代数方法解决机器人的运动学问题—D-H方法，其数学基础即是齐次变换 具有直观的几何意义 能表达动力学、计算机视觉和 比例变换问题 为以后的比例变换、透视变换 等打下基础 2.1 点和面的齐次坐标2.1.1 点的齐次坐标 一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。 引入齐次坐标的目的是为了表示几何变换的旋转、平移和缩放 [例1]： 齐次坐标与三维直角坐标的区别 V点在ΣOXYZ坐标系中表示是唯一的（a、b、c） 而在齐次坐标中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的V点在空间位置上不变。 几个特定意义的齐次坐标： [0 0 0 n]T—坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数 [1 0 0 0]T — 指向无穷远处的OX轴 [0 1 0 0]T — 指向无穷远处的OY轴 [0 0 1 0]T — 指向无穷远处的OZ轴 [0 0 0 0]T — 没有意义 2.1.2 平面的齐次坐标 平面齐次坐标由行矩阵P=[a b c d ]来表示 当点v=[x y z w]T处于平面P内时，矩阵乘积PV=0，或记为 点和平面间的位置关系 2.2 旋转矩阵及旋转齐次变换2.2.1 旋转矩阵 2.2.2 旋转齐次变换 2.2.3 三个基本旋转矩阵和合成旋转矩阵 2.2.4 相对变换 右乘的意义： 机器人用到相对变换的时候比较多 例如机械手抓一个杯子，如右图所示，手爪需要转动一个角度才抓的牢，相对于固定坐标系表达太麻烦，可以直接根据手爪的坐标系表示 但也要知道在∑O中的位姿，就用右乘的概念。 2.2.5 绕通过原点的任意轴旋转的齐次变换 有时动坐标系∑O′可能绕过原点O的分量分别为rx、ry、rz的任意单位矢量r 转动φ角。 研究这种转动的好处是可用∑O′绕某轴r 的一次转动代替绕∑O各坐标轴的数次转动 为推导此旋转矩阵，可作下述5步变换： 绕X 轴转α角， 使r 轴处于XZ平面内 绕Y 轴转-β角，使r 轴与OZ轴重合 绕OZ轴转动φ角 绕Y 轴转β角 绕X 轴转-α角 2.2.6 齐次变换矩阵的几何意义 2.2.7 透镜成像的齐次变换 因此，进行机器人运动学计算时，不能省略透视矩阵，有摄像头时，透视矩阵为 [0 - 0]，没有摄像头时为[0 0 0 ] 。 知识点： 点和面的齐次坐标和齐次变换 三个基本旋转矩阵 绝对变换：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。 相对变换：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。 绕任意轴旋转：5步顺序 透视变换 知识点： 三个基本旋转矩阵 需要在黑板上画、推导。 需要在黑板上画、推导。 需要在黑板上画、推导。 需要推导 需要推导 需要推导 解1：用画图的方法 解2：用计算的方法 （2-21） 式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是一致的。因此我们有如下的结论： 动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况： 定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。 定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。 结果均为动坐标系在固定坐标中的位姿（位置+姿态）。相对于固定坐标系， 也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，要达到绕固定坐标系相等的结果，就应该用相反的