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行列式的计算 一、线性方程组的有关概念 3 anxiaohong 线性方程组的有关概念 Cramer法则 线性方程组 利用逆矩阵求解线性方程组 线性方程组的消元法 代表n个未知数； 称为i行j列的系数； 线性方程组的一般形式为 或简写为 称为常数项或右端项。 其中 1. 齐次与非齐次 若常数项b1=b2=…=bm=0，则称方程组为齐次线性方程组。 若b1，b2，…，bm不全为0，则称方程组为非齐次线性方程组。 2. 解、有解、无解 若线性方程组的解存在，则称它是有解的或相容的，否则称为无解(或不相容，或矛盾的)。 若取未知数 代入方程组后各方程为恒等式，则 是方程组的解。 3. 通解、同解 线性方程组的解的全体称为解集合(可能是空集)。 能代表解集合中任一元素的表达式称为通解或一般解。 如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们是同解的。 4. 零解与非零解 齐次线性方程组必有解，因为x1=x2=…=xn=0就是它的解，称之为零解。 如果有一组不全为零的数 是齐次方程组的解，则称之为非零解。 如果线性方程组 的系数行列式 ，则方程组有惟一解 其中 第 j 列 二、Cramer法则 例1 用Cramer法则解方程组 解 齐次线性方程组的相关定理 的系数行列式 D≠0，则该方程组只有零解。 定理 如果齐次线性方程组 推论：若齐次线性方程组(见上)有非零解，则系数行列式 D = 0。(系数行列式 D = 0是齐次线性方程组有非零解的充要条件) 证 易知 ，故 证毕 有非零解？ 例2 问 取何值时，齐次线性方程组 解 由定理的推论知，该线性方程组系数行列 式为0，即 所以 或 时,齐次方程组有非零解. 若记 则方程组可以简记为 三、利用逆矩阵求解线性方程组 对于n个方程n个未知数的线性方程组 ， 若 ，则有 其中 ， . 分析 所以 Cramer法则 例3 利用逆矩阵求解线性方程组 解 令 所以有 , 又因为 ，所以 可求得 所以 四、线性方程组的消元法 非齐次线性方程组 齐次线性方程组 一、非齐次线性方程组 ： 系数矩阵为 增广矩阵为 (1) (2) 这里，非齐次线性方程组（1）和增广矩阵 是一一对应的。 从求解线性方程组的消元法知消元过程有： 交换某两个方程的位置； 用一个非零的数乘某一个方程； 某一方程的若干倍加到另一个方程上去。 我们可以用矩阵的初等行变换来求解线性方程组。 增广矩阵 新增广矩阵 同解方程组 定理：对于非齐次线性方程组(1) ，有 当 时，(1)无解; 当 时，(1)有惟一解; 当 时，(1)有无穷多解. 推论：Ax=b 有解 二、齐次线性方程组 Ax=0 齐次线性方程组（6）可看作方程组（1）的特例，此时 因此恒有解，把定理用于（6）得 (6) 定理：对于齐次线性方程组（6），有 当 时，（6）只有零解 当 时，（6）有无穷多解, 通解中含有n－r 个自由变量。 推论：齐次线性方程组 有非零解 例6．当λ取何值时，线性方程组 无解、有惟一解、有无穷多解？并在有无穷多解时求通解。 解：系数行列式为 于是（1）当 且 时，方程组有惟一解; （2）当λ=0时，对 进行初等行变换 方程组无解。 （3）当λ=1时， 方程组有无穷多解，且通解为 * * 二、三阶行列式 三阶行列式 二阶行列式 引入记号 称为二阶行列式，它代表数 即 对角线法则 引入记号 ，称为三阶行列式，即 对角线法则 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 称为行列式 的转置行列式. 行列式的性质 性质2 互换行列式的任意两行（列）,行列式变号. 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 用 表示行列式 的第 行，用 表示 的第 列。则