2012年高中数学联赛陕西赛区预选赛试题答案.doc

2012年高中数学联赛陕西赛区预赛试题(5月20日 上午 8:30---11:00) 第一试 填空题:(每小题8分，共80分) ；2.答案:；3.答案:②、④；4. 答案:1；5.答案:1；6.答案: 7.元..答案:1；9.答案:；10.答案:14000 第二试 一（20分）在中，已知，且. 求角A的大小和边的长； 若点P在内运动（含边界），且点P到三边距离之和为d,设点P到边BC、CA的距离分别为，试用表示d,并求d的取值范围. 二、（20分）在平面直角坐标系中，以点为圆心的圆经过坐标原点，且分别与轴、轴交于点（不同于原点）. 求证：的面积为定值； 设直线与圆相交于不同的两点，且，求圆的标准方程. 三、（20分）如图2，锐角内接于圆，过圆心且垂直于半径的直线分别交边于点设圆在两点处的切线相交于点. 求证：直线平分线段 . 作的平行线，分别交延长线于点，则 因为是的外心，所以 所以 又为圆的切线，所以. 所以，于是.同理 又，所以，即平分线段. 因为，故直线平分线段. 四、（0分）已知数列满足：， 求数列的通项公式； 若数列满足：，且对任意正整数, 不等式恒成立，求整数m的最大值.，则由知，.依次类推，，这与矛盾.故 于是，由，得，即. 所以是首项为3、公比为3的等比数列. 所以，即 由（1）得.从而. 于是，不等式等价于 令则 所以单调递增. 所以.于是，，即. 故整数的最大值为13. 五、（0分） 对于任意的正整数n,证明：.，. 先证明：对任意，有. 事实上， 因为单调递增，所以. 故 再证明：对任意，有. 当时，，不等式成立. 当时， 若为奇数，令，则 若为偶数，令，则. 综上所述，对任意，都有. 1