网络流算法介绍与分析.pptVIP

网络流 杭州学军中学 魏越闽 一些符号和定义 V表示整个图中的所有结点的集合. E表示整个图中所有边的集合. G = (V,E) ,表示整个图. s表示网络的源点,t表示网络的汇点. 对于每条边(u,v),有一个容量c(u,v) (c(u,v)=0) 如果c(u,v)=0，则表示(u,v)不存在在网络中。 如果原网络中不存在边(u,v)，则令c(u,v)=0 对于每条边(u,v),有一个流量f(u,v). 最大流问题 定义一个网络的流量（记为|f|）= 最大流问题，就是求在满足网络流性质的情况下，|f|的最大值。 残量网络 为了更方便算法的实现，一般根据原网络定义一个残量网络。其中r(u,v)为残量网络的容量。 r(u,v) = c(u,v) – f(u,v) 通俗地讲：就是对于某一条边（也称弧），还能再有多少流量经过。 Gf残量网络,Ef表示残量网络的边集. 例1 例1 从残量网络中可以清楚地看到： 因为存在边(s,v2) = 3,我们知道从S到v2还可以再增加2单位的流量； 因为存在边(v1,t) = 2,我们知道从v1到t还可以再增加2单位的流量。 后向弧 其中像(v1,s)这样的边称为后向弧,它表示从v1到s还可以增加4单位的流量。 但是从v1到s不是和原网络中的弧的方向相反吗？显然“从v1到s还可以增加4单位流量”这条信息毫无意义。那么，有必要建立这些后向弧吗？ 为什么要建立后向弧 显然，例1中的画出来的不是一个最大流。 但是，如果我们把s - v2 - v1 - t这条路径经过的弧的流量都增加2,就得到了该网络的最大流。 注意到这条路径经过了一条后向弧:(v2,v1)。 如果不设立后向弧，算法就不能发现这条路径。 从本质上说，后向弧为算法纠正自己所犯的错误提供了可能性，它允许算法取消先前的错误的行为（让2单位的流从v1流到v2) 为什么要建立后向弧 当然,可以把上面说的情况当成特殊情况来处理。但使用后向弧可以使编程简单许多. 注意,后向弧只是概念上的,在程序中后向弧与前向弧并无区别. 增广路 增广路定义：在残量网络中的一条从s通往t的路径，其中任意一条弧(u,v)，都有r[u,v]0。 绿色的即为一条增广路。 增广路算法 增广路算法：每次用BFS找一条最短的增广路径，然后沿着这条路径修改流量值（实际修改的是残量网络的边权）。当没有增广路时，算法停止，此时的流就是最大流。 下面证明增广路算法的正确性. 将f,c,r的定义域扩展为点集 (在以后的叙述中,大写字母X,Y,S,T一般均表示点集) 点集间的流量和: f(X,Y) = 即:X中的任意一点与Y中的任意一点组成的所有边上的流量之和.(边的方向为从X中的结点到Y中的结点) c,r等函数都有类似的定义.(点集间的容量和、点集间的残量网络容量和) 结论1 1.f(X,X) = 0 (由流量反对称性) 2. f(X,Y) = -f(Y,X) (有流量反对称性) 3.f(X ∪ Y,Z) = f(X,Z) + f(Y,Z) (显然) 4.f(X,Y ∪ Z) = f(X,Y) + f(X,Z) (显然) 最大流最小割定理 网络流中这三个条件等价（在同一个时刻）: 1、f是最大流 2、残量网络中找不到增广路径 3、|f| = c(S,T) 1、f是最大流2、残量网络中找不到增广路径3、|f| = c(S,T)  1 - 2证明: 显然.假设有增广路径,由于增广路径的容量至少为1,所以用这个增广路径增广过后的流的流量肯定要比f的大,这与f是最大流矛盾. 割的定义 一个割(S,T)由两个点集S,T组成. S+T = V s 属于 S. t 属于 T. 提出割的定义,是为后面的证明作铺垫. 结论2(点集总流量为零) 不包含s和t的点集,于它相关联的边上的流量之和为0. 证明: f(X,V) = = (由流量平衡) = 0 结论3 任意割的流量等于整个网络的流量. 证明: f(S,T) = f(S,V) – f(S,S) (由辅助定理1) = f(S,V) (由辅助定理1) = f(S,V) + f(S – s,V) (同上) = f(s,V) (由辅助定理2) = |f| (由|f|的定义) 结论4 网络的流量小于等于任意一个割的容量.(注意这个与辅助定理3的区别.这里是容量) 即|f| = c(S,T) 证明: |f| = f(S,T) = (由定义)