93MMs等待制排队模型.ppt

第三节 单通道服务系统 M/M/1系统 M/M/1/N系统 M/M/1/m/m系统 一、M/M/1系统 系统状态分布------单服务台的普阿松流， 系统容量和顾客数无限制 M/M/1模型指：输入过程服从普阿松过程，服务时间服从负指数分布，单服务台的情形.分三类：(1)标准的M/M/1模型；(2)系统容量有限制(N)；(3)顾客源为有限(m). 1、标准的M/M/1模型 标准的M/M/1模型指： ① 输入过程：顾客源无限，顾客单个到来，相互独立，一定时间的 到达数服从普阿松公布，到达过程是平稳的. ② 排队规则：单队、队长无限制，先到先服务. ③ 服务机构：单服务台，各顾客的服务时间相互独立，服从相同的负指数分布. 到达间隔时间和服务时间相互独立. 任意状态n的产生和破坏 一、M/M/1系统 系统状态分布------单服务台的普阿松流， 系统容量和顾客数无限制 由 系统的其它指标：平均队长 系统的其它指标：平均排队长 系统的其它指标：平均逗留时间 讨论与Little公式 1. 关于 ：叫做服务强度，反映了服务员忙期所占的比例，同时实际上也是平均服务台数。 2.指标参数之间的关系—Little公式 M/M/1系统举例：例8-1 有一火车售票处，设有一个售票窗口，顾客到达为泊松流，平均到达率为0.3人/分。服务时间服从负指数分布，平均服务率为0.4人/分，试求服务系统的各项指标和顾客逗留15分钟以上的概率。 解：已知条件 1)服务强度和空闲率 例8-1继续求解 2）系统状态的概率 3）平均队长和平均排队长 例8-1继续求解 顾客的逗留时间和排队时间 顾客在系统中逗留15分钟以上的概率 三、M/M/1/m/m系统 典型的情况是工厂内的机器待修问题，因此俗称“机修模型”。 状态转移图为 这里 为每台机器的平均故障率 系统参数 平均到达率，设每台机器的平均故障率为 ，则 Cn 状态分布概率 求P0和Pn 有效到达率和平均队长 有效到达率（单位时间内损坏的机器数） 因此 平均队长和平均排队长 由上式得 顾客平均等待时间 M/M/1/m/m系统举例：例8-3 一个工人看管3台机床，每台机床每运转1小时平均出两次故障，该工人排除故障每次平均需10分钟。试求工人忙期概率，实际每小时平均修理机床数，出故障机床的平均数和机床因故障而损失的能力。 解：已知 (1)工人闲期概率 工人忙期概率和每小时修理机床数 工人闲期和忙期概率 工人每小时修理机床数 故障机床平均数和损失的能力 故障机床平均数 因故障而损失的能力，是故障机床平均数与机床总数的比值 因此 * * 对于C=1的系统: 所以 其中 结果 逗留时间分布为 所以平均逗留时间 又因为 所以平均排队时间： 二、M/M/1/N系统---系统容量N 稳态时的状态分布 M/M/1/N的状态分布 M/M/1/N系统的空间指标 1.平均队长 2.平均 排队长 当 =1时： 当 时： M/M/1/N系统的有效到达率和时间指标 有效到达率， 是系统人数少于N时，单位时间内到达的人数，当超过N个人时到达率为零。所以给出有效到达率的概念： 平均时间指标 指标公式的证明 2) 与前面的结果一致 1)证明有效到达率公式 损失制系统M/M/1/1 当系统的容量N=1时，有 该系统中只要有人在接受服务，顾客到达即离开。这是一种完全损失制，例如打电话，有人占线，就只能重打。 M/M/1/N系统举例：例8-2 某理发店有一个理发师，有六张椅子接待人们排队等待理发。椅子坐满时，后到的旅客就离开。顾客到达为泊松流，平均到达率为3人/小时。理发平均需要15分钟，服从负指数分布。试求该理发服务系统的运行指标。 解：这是一个M/M/1/7排队系统，且 例8-2的求解 1）旅客到达就理发的概率、顾客损失率和有效到达率 例8-2继续求解 2）平均队长、平均排队长、平均时间 *