chap1.1矢量分析基础.pptVIP

表示一个以z轴为界的半平面， φ的变化范围为0≤φ≤2π。 坐标面 ?z=常数 （1-2-4） ? 表示一个平行于xy平面的平面。 z的变化范围为-∞z+∞。 由于三个面相交成直角， 因此能够建立互相垂直的坐标轴： ρ、 φ 和z， 相应的单位矢量为eρ、 eφ和ez， 分别指向ρ、φ和z增加的方向。 应该指出： 圆柱坐标系中的三个单位矢量（与直角坐标系的不同）除ez外， eρ和eφ都不是常矢量，它们的方向随P点的位置不同而变化， 但eρ、eφ和ez三者始终保持正交关系， 并遵循右手螺旋法则， 即 eρ×eφ=ez, eφ×ez=eρ, ez×eρ=eφ eρ×eρ=eφ×eφ=ez×ez= 0 （1-2-5） eρ·eφ=eφ·ez=eρ·ez=0 eρ·eρ=eφ·eφ=ez·ez=1 （1-2-6） 圆柱坐标系的位置矢量r可以表示为 r=eρρ+ezz （1-2-7） 圆柱坐标系中的单位矢量eρ和eφ在单位矢量ex和ey上的投影示于图1-6， 显然 ? eρ=ex cosφ+ey sinφ eφ=ex(-sinφ)+ey cosφ （1-2-8） 图1 - 6 圆柱坐标系单位矢量的变换 所以， 直角坐标系中的单位矢量变换到圆柱坐标系中的单位矢量的表达式写成矩阵形式为 ? （1-2-9） 将上式求逆即可得到从圆柱坐标系到直角坐标系的转换关系为 （1-2-10） 式（1-2-9）和（1-2-10）表明： 如果矢量A是在圆柱坐标系给定的， 根据式（1-2-10）可以得到直角坐标系的表达式； 反之， 若矢量A是在直角坐标系给定的， 则根据式（1-2-9）可以得到圆柱坐标系的表达式。 圆柱坐标系中的任意一点P沿ρ、φ和z方向的长度增量分别为 dlρ=dρ, dlφ=ρdφ, dlz=dz （1-2-11） 它们与沿各自坐标增量之比分别为（度量系数/拉梅系数） （1-2-12） 圆柱坐标三个坐标面的面元矢量分别为 dSρ=eρρdφ dz （1-2-13） dSφ=eφ dρdz （1-2-14） dSz=ezρdφ dρ （1-2-15） ? 体积元为 dV=ρdφ dρdz 小结： 圆柱坐标系 圆柱坐标与直角坐标之间的关系 * * 直角坐标系中的单位矢量变换到圆柱坐标系中的单位矢量的表达式 圆柱坐标系中的单位矢量变换到直角坐标系中的单位矢量的表达式 与三个坐标单位矢量相垂直的三个面积元 体积元 位置矢量r的微分： 各坐标方向上的增量 拉梅系数（坐标增量与坐标微分之比） * 【例1-1】 将圆柱坐标系中的矢量表达式 转换为直角坐标系的表达形式。 * 1.2.2 球坐标系 在球坐标系中， 空间一点P唯一地用三个坐标变量(r, θ, φ)来表示， 如图1-7所示。 此处， 位置矢量r又称为矢径(Radius Vector)， r是其大小， θ是位置矢量r与z轴的夹角，φ是从+x轴到位置矢量r在xy面上的投影OM之间的夹角。 图 1 - 7 球坐标系一点的投影 图 1 - 8 球坐标系三个互相垂直的坐标面 由图1-7可以看出， 球坐标与直角坐标之间的关系为? x=r sinθ cosφ y=r sinθ sinφ z=r cosθ （1-2-17） 同样， 球坐标也有三个坐标面， 如图1-8所示。 坐标面 （1-2-18） 表示一个半径为r的球面， r