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* * 刚体的定轴转动 第 三 章 刚体（rigid body）: 形状和大小都不变的物体。 一、刚体运动的基本形式： §3-1 刚体的平动、转动和定轴转动 平动（translation）：刚体中任意两点的连线在运动中始终保持彼此平行。平动时，刚体上所有点运动都相同。 实质上可以把刚体看作是质量连续分布的且任意两质量元之间距离保持不变的质点系。 b c a 物 体 作 平 动 b c a 物 体 作 平 动 b c a 物 体 作 平 动 b c a 物 体 作 平 动 a b c 物 体 作 平 动 a b c 物 体 作 平 动 b c a 物 体 作 平 动 a b c 物 体 作 平 动 a b c 物 体 作 平 动 a b c 物 体 作 平 动 转动(rotation)：刚体围绕某一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。 定轴转动: 刚体绕一固定不动轴转动 刚体转动时，各点位移、速度各不相同，但角位移、角速度相同。因此用角量描述刚体的转动。 二、角速度的矢量性 角加速度 角速度的大小： 由右手螺旋法则确定。右手弯曲的四指沿转动方向，伸直的大拇指即为角速度的方向。 角速度 的方向： 角加速度矢量： 三 、匀变速转动公式 四、角量和线量的关系： §3-2 定轴转动定律 r φ d Mz F 一、对转轴的力矩 对转轴力矩的定义： 在垂直于转轴的平面内，外力 与力线到转轴的距离d 的乘积定义为对转轴的力矩。 对于定轴转动，规定： 力矩沿oz正方向 为正。 力矩沿oz反方向 为负。 z 二、定轴转动定律 θ F f i i i i i i sin sin + = φ Δ m a t θ r ω m cos i i i i i i F f = Δ cos φ 2 应用牛顿第二定律： i F 外力 i f 内力 Fi r i 0 ω 0 对 质点 V sin i sin θ + = m Δ i r r r f i i i i i i F φ 2 ? Σ Σ Σ sin θ + = φ m r Δ i r f F ? i i i i i i i r sin 2 0 M θ θ r ω m F f cos i i i i i i i i i i i i F f sin sin + = = φ Δ Δ m a t cos φ 2 (1) (2) 式 r 并考虑到 i × ? 得到： i = a r t i (1) ? J = ? Mz J ? 转动定律： Mz = J d dt ω ? = J 讨论： 转动惯量是转动 3. J和转轴有关，同一个物体对不同轴的转动 惯量不同。 2. J 和质量分布有关,质量连续分布时 惯性大小的量度。 1. M 一定， J 例1 质量为m,长度为 L 的均质细杆的转动惯量。 0 0 x dx L m = dm dx L x dx L dJ 2 2 dm = = x m 例2 均质细圆环的转动惯量。 = m r 2 ω r m ω 0 0 1 m 3 2 = x L m L L J 0 dx = 2 J 2 2 = = r dm r dm 3-1 转动惯量的计算 解： 例3 质量为m，半径为R 的均质圆盘的转动惯量。 R σ = m π 2 = dJ 2 = r dm ω dr r R m 解： m m 1 m 2 r m 1 ? m T T 1 2 1 T T 2 1 g m 2 m 2 g m [ 例 1 ] 在图示的装置中求 ： T ? a , , , 1 2 T 1 T 2 滑轮可视作均质圆盘。 T a a 3-2 转动定律的应用 g [ 例 1 ] 在图示的装置中求 ： T ?. a , , , 1 2 m m 2 1 1 T T 2 ? m J 1 2 = 2 m r T g m m 2 2 = 2 a a = r ? T 1 1 2 T 2 g m m 1 T T 2 ? J r r = = 1 T 1 1 m m g a 滑轮可视作均质圆盘。 T a a m m m 1 2 r T T 1 2 ? a 2 m m m m m g 1 2 1 2 = + + ( ) ) ( ) m m g ( m m 2 2 2 1 1 = + + ? ( ) m r T m g 2 1 1 2 2 = 2 2 + ( ) m m m 1 m m + + g 1 2 2 = 2 T ) ( m 1 m m + + + m m m 2 2 2 解：动力学关系： 定轴O · R t h