基本数列和收敛原理.doc

PAGE PAGE 28 §1.8 基本数列和收敛原理 定义1.9 设是一个数列.若,使得当时, 都成立 , 则称是Cauchy数列或基本数列.显然,收敛数列是基本数列. 引理1.1 任意数列必有一个单调子列. 证: 若严格大于中的每一项,则称数列的一个“龙头”. (1) 假定有无穷多个“龙头”,,,则子列严格递减. (2) 假定只有有限个“龙头”,则,使得当时,每个都不是“龙头”.令；因为不是“龙头”，故存在正整数使得；又因为不是“龙头”，故存在正整数使得；…，于是,子列递减.□ 定理1.11 (Bolzano-Weierstrass列紧性定理)任意有界数列必有一个收敛子列. 注记1. 定理1.10是实数完备性或连续性的一种表现形式. 定理1.12 (Cauchy收敛原理)数列收敛的充要条件是它为基本数列. 证: 只需证充分性.设是基本数列,故,使得都成立,这说明是有界数列.由列紧性定理,有一个子列收敛于. ,使得当时, 都成立,于是当时成立,从而 .令便得到,这说明收敛于.□ 数域的完备性或连续性 称满足Cauchy收敛原理的数域是完备的(或连续的).于是,实数域是完备的,而有理数域是不完备的. 例 设是数列.若,和,使得当时成立,问是否收敛？说明理由. 解: ,和,使得当时成立,从而当时,都成立.于是,当时,都成立.由Cauchy收敛原理便知收敛.但要注意,未必以为极限. 练习题1.8（） 1,2(1,2),3(2,4),5,6. §1.9 上确界和下确界 广义实数集的上、下界 设.若,使得都成立,则称有上界,并是的一个上界；若存在使得都成立,则称有下界,并称是的一个下界；称既有上界又有下界的数集为有界集.显然,数集有界,使得都成立.显然空集是有界集. 定义1.10(最大数的推广) 设非空.当有上界时,若满足 (1) 是的上界； (2) 使得, 则称是的上确界(或最小上界),记为.当无上界时,称是的上确界,记为. 定义1.11(最小数的推广) 设非空.当有下界时,若满足 (1) 是的下界； (2) 使得, 则称是的下确界(或最大下界),记为.当无下界时,称是的下确界,记为. 命题1 若非空广义实数集中有最大数(或最小数),则(或)；若,则. 例1 求下列数集的上、下确界 (1) 不是的最小数； (2) 不是的最大数，不是的最小数； (3) 不是的最大数，不是的最小数. 定理1.13(确界原理) 非空实数集必有上确界和下确界. 证: (用闭区间套定理证)只需证有上界的非空实数集存在上确界即可.任取的一个上界,故满足；当时,令,否则令,故，是的上界；当时,令,否则令,故,是的上界；… .闭区间满足和.由闭区间套定理,是独点集.下面证就是的上确界. (1) ,总成立,故,这说明是的上界. (2) 使得.由于,故使得.这说明就是的上确界.□ 注记1. 定理1.13是实数完备性或连续性的一种表现形式. 命题2 设非空.若没有最大数(或最小数),则必存在严格递增(或递减)的数列趋向于(或). 证: 设无上界.使得；使得；使得；… .于是,数列严格递增趋向于. 设有上界,记.使得；使得；使得 ；…,使得. 于是,数列严格递增收敛于.□ 例2(的连通性)若满足,,则或者有中的数列收敛于中的点,或者有中的数列收敛于中的点(这也是实数完备性或连续性的一种表现形式). 证: (用确界原理证)取,不妨设,并记,显然. (1) .因为不是的最大值,故存在严格递增的数列收敛于(命题2),定理得证； (2) .这时,,,从而,故存在严格递增的数列收敛于.□ 练习题1.9() 1,2,3,4. §1.10 有限覆盖定理 定义1.12 设是指标集(即非空集合),是开区间族.若实数集,则称开区间族覆盖了. 定理1.14(Heine-Borel有限覆盖定理) 若开区间族覆盖了有限闭区间,则必可从中选出有限个开区间,这有限个开区间所组成的族仍然覆盖了. 证:(用闭区间套定理反证)假定不能被中的有限个开区间所覆盖,则和中必有一个不能被中的有限个开区间所覆盖,以记之；和中必有一个不能被中的有限个开区间所覆盖,以记之；… . 于是,闭区间满足和.由闭区间套定理,是独点集.取中的开区间使得.因为,故当充分大时,得到矛盾.□ 注记1.1 定理1.14是实数完备性或连续性的一种表现形式. 实数完备性或连续性的7个等价命题 练习题1.10 () 1,2.