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复合函数导数、定积分
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复合函数导数、定积分
一、考试说明要求：
内 容
要求
A
B
C
导数及其应用
简单的复合函数的导数
√
定积分
√
二、应知应会知识和方法：
1．已知x＞0，比较2x与ln(2x＋1)的大小．
解 2x＞ln(2x＋1)．
说明 利用函数f(x)＝2x－ln(2x＋1)的导数，研究其单调性，进而说明其恒大于0．
eq \F(3,2)πxyO2．已知函数f(x)＝sinx，x∈[0，eq \F(3
eq \F(3,2)π
x
y
O
解 3．
xyO3y＝x＋3y＝x2－2x＋33
x
y
O
3
y＝x＋3
y＝x2－2x＋3
解 如图，由 eq \b\lc\{(\a\al(y=x2－2x＋3，,y=x＋3．))解得x1＝0，x2＝3．
因此，所求图形的面积是S＝eq \i\in(0,3,[(x＋3)－(x2－2x＋3)])dx
＝(－ eq \f(1,3)x3＋ eq \f(3,2)x2)| eq \a(3,0)＝ eq \f(9,2)．
4．若(2x－ eq \f(1,x))n展开式中，各项二项式系数之和为64，求eq \i\in(1,n,(2x－ eq \f(1,x)) eq \s\up10( eq \f(n,3)))dx的值．
解 由条件得n＝6．所以eq \i\in(1,n,(2x－ eq \f(1,x)) eq \s\up10( eq \f(n,3)))dx＝eq \i\in(1,6,(2x－ eq \f(1,x))2)dx＝eq \i\in(1,6,(4x2－4＋ eq \f(1,x2)))dx＝( eq \f(4,3)x3－4x－ eq \f(1,x))| eq \a(6,1)＝ eq \f(535,2)．
xyOy＝ax2(a＞0)x＝115．如图，用图“以直代曲”的方法计算直线x
x
y
O
y＝ax2(a＞0)
x＝1
1
解 （1）分割——把区间[0，1]等分成n个小区间：[0， eq \f(1,n)]，[ eq \f(1,n)， eq \f(2,n)]，…，[ eq \f(i－1,n)， eq \f(i,n)]，…，[ eq \f(n－1,n)， eq \f(n,n)]．
（2）以直代曲——△Si≈f( eq \f(i,n))?△x＝a eq \b\bc\(( eq \f(i,n)) eq \s\up10(2)? eq \f(1,n)．
（3）作和——因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以以n个小矩形面积之和就是曲边三角形面积S的近似值，
即S＝△S1＋△S2＋…＋△Sn＝ eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do5(i=1))△Si≈ eq \f(a,n3)? eq \f(1,6)n?(n＋1)?(2n＋1)＝ eq \f(a,6)?(1＋ eq \f(1,n))?(2＋ eq \f(1,n))．
（4）逼近——当分割无限变细，即△x无限趋近于0（亦即n趋向于＋∞）时， eq \f(a,6)?(1＋ eq \f(1,n))?(2＋ eq \f(1,n))无限趋近于S，而当n趋向于＋∞时， eq \f(a,6)?(1＋ eq \f(1,n))?(2＋ eq \f(1,n))无限趋近于 eq \f(a,3)．由此可知S＝ eq \f(a,3)．
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