多面体欧拉公式的拓宽.doc

PAGE PAGE 19 多面体欧拉公式的拓宽 ——多面体万能公式的推导 雷 明 （二○○八年六月二十七日） 欧拉以前在得到凸多面体欧拉公式时，主要是总结了正多面体的顶点、边（棱）和面之间的关系面得出的。由于任何多面体都对应着一个图，所以现在就从图的角度首先推导出适用于任何图的欧拉公式，再进一步推导出适用于任意多面体的欧拉公式。 1、连通平面图的欧拉公式 （1）平面图中顶点、边和面三大要素间的关系： ㈠ 极大图中顶点、边和面三大元素之间的关系： 极大图是各个面均为3—圈的平面图，由于其各个面均是3—圈，所以在顶点数想同的平面图中，极大图的边和面是最多的。现在就从极大图开始研究。 极大图（v≥3）的边数e与顶点数v以及面数f与顶点数v的关系的导出如下表： 序号n 顶点数v 边数e en+1－en 面数f fn+1－fn 1 3 3 / 2 / 2 4 6 3 4 2 3 5 9 3 6 2 ………………………………………………………………… n＝v－2 v 3v－6 3 2v－4 2 从上表中可以看出：极大图的顶点数每增加1，图仍要保持还是一个极大图时，图的边数就增加3，面数也就增加2。可见表中“边数e”列和“面数f”列分别是两个等差数列，公差分别是de＝3和df＝2，把n＝v－2，de＝3，df＝2，e1＝3和f1＝2分别代入等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）·d得极大图的边数和面数的通项公式分别是： 极大图的边数：e＝3＋（v－2－1）×3＝3v－6 （1） 极大图的面数：f＝2＋（v－2－1）×2＝2v－4 （2） 式（1）和式（2）就是在v≥3时的连通单纯图中，极大图的边数e和面数f分别与顶点数v的关系。 ㈡ 平面图的边数e、面数f与顶点v数的关系： 由于极大图的顶点数v≥3，其边数和面数又是同顶点数的平面图中最多者，所以就有任意平面图的边数e及面数f与顶点数v的关系分别如下： 平面图的边数：e≤3v－6 （3） 平面图的面数：f≤2v－4 （4） 只要是v≥3的连通的单纯平面图，不管是极大图还是非极大图，它的三大要素v、e、f之间一定有（3）式和（4）式的关系。 （2）连通平面图的欧拉公式： 用式（1）减式（2）或用 （3）减式（4）得e－f＝v－2，再移项整理得到 v＋f＝e＋2 （5） （5）式就是极大平面图（v≥3）的欧拉公式。若给图中减少或增加一条边，只要不产生交叉边，同样也就减少或增加了一个面，公式两边同增同减，公式仍成立。或者给图中增加或减少一个顶点，同样也就增加或减少了与该顶点相连接的d条边，也增加或减少了d－1个面，这时公式（5）的左边，顶点与面的变化量之和是Δ＝1＋d－1＝d，公式（5）的右边，边的变化量也是Δ＝d，（5）式两边同增同减，公式仍然成立。所以式（5）也就是意任连通平面图（v≥1）的欧拉公式。 2、任意连通图的欧拉公式 图1，a是一个非平面图，如果把交叉边之一1—3（如图中的边e）去掉时，就是一个平面图。如果把这条交叉边画在与画图的平面N相交的另一个平面M内时，如图1，b和图1，c，则原画图的平面N内的图就是一个平面图，以上公式（5）的欧拉公式一定适用于它。那一条位于平面M内的交叉边e，则与面M和N的交线m—n共同构成了位于平面M内的一个面，这个面就是边e和顶点1、2、3及其之间的边1—2和边2—3构成的3—圈（如图1，b。在画图时，把边1—2和边2—3与面M和面N的交线m—n有意重合在了一起）或者是e和顶点1、4、3及其之间的边1—4和边4—3构成的3—圈（如图1，c）。这样来看，图1，a的图，虽然多了一条交叉边，但也多了一个面，而面和边又分别位于公式（5）两边，两边同增同减，仍是相等的。所以就可以认为公式（5）不仅只适用于平面图，而且也是适用于非平面图的。 如图1，a中的非平面图，图中的顶点v＝8，边e＝14，面f＝8，代入公式（5）的欧拉公式得 左边＝v＋f＝8＋8＝16 右边＝e＋2＝14＋2＝16 公式左右两边相等，公式（5）也适用于非平面图。由此可以说以上的公式（5）也就是任意连通图的欧拉公式。