专题3.排列与组合.docVIP

　排列与组合 1． 排列 (1)排列的定义：从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中任意取出m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A. (3)排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)． (4)A＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.A＝，这里规定0！＝1. 2． 组合 (1)组合的定义：从n个不同的元素中，任取出m(m≤n)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示． (3)组合数的计算公式：C＝＝＝，由于0！＝1，所以C＝1. (4)组合数的性质：①C＝C__；②C＝C__＋C__. 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　×　) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(　×　) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　√　) (4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(　√　) (5)A＝nA.(　√　) (6)kC＝nC.(　√　) 2． 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　) A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 答案　B 解析　方法一　不同的赠送方法有＝10(种)． 方法二　从2本同样的画册，3本同样的集邮册中取出4本有两种取法：第一种：从2本画册中取出1本，将3本集邮册全部取出；第二种：将2本画册全部取出，从3本集邮册中取出2本．由于画册是相同的，集邮册也是相同的，因此第一种取法中只需从4位朋友中选出1人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C＝4(种)赠送方法；第二种取法中只需从4位朋友中选取2人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C＝6(种)赠送方法．因此共有4＋6＝10(种)赠送方法． 3． (2012·大纲全国)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(　　) A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 答案　A 解析　先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A种不同的排法． 再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法． 因此共有A·A·1＝12(种)不同的排列方法． 4． 用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(　　) A．8 B．24 C．48 D．120 答案　C 解析　分两步：(1)先排个位有A种排法．(2)再排前三位有A种排法，故共有AA＝48种排法． 5． 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有______种． 答案　14 解析　①有1名女生：CC＝8.②有2名女生：CC＝6. ∴不同的选派方案有8＋6＝14(种)． 题型一　排列问题 例1　有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端； (3)男女相间． 思维启迪　这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起．对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”(特殊元素先考虑)． 解　(1)方法一　(元素分析法) 先排甲有6种，其余有A种， 故共有6·A＝241 920(种)排法． 方法二　(位置分析法) 中间和两端有A种排法，包括甲在内的其余6人有A种排法，故共有A·A＝336×720＝241 920(种)排法． 方法三　(等机会法) 9个人的全排列数有A种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是A×＝241 920(种)． 方法四　(间接法) A－3·A＝6A＝241 920(种)． (2)先排甲、乙，再排其余7人， 共有A·A＝10 080(种)排法． (3)(插空法) 先排4名男生有A种方法，再将5名女生插空，有A种方法，故共有A·A＝2 880(种)排法． 思维升华　本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解题思路． 　用0,1,3,5,7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数？