专题6：排列、组合、二项式与概率专题.docVIP

排列、组合、二项式定理与概率 一、排列与组合的相关知识点与方法： 1.解排列组合应用题的基本规律 （1）分类计数原理与分步计数原理使用方法有两种：①单独使用；②联合使用。 （2）将具体问题抽象为排列问题或组合问题，是解排列组合应用题的关键一步。 （3）对于带限制条件的排列问题，通常从以下三种途径考虑： ①元素分析法：先考虑特殊元素要求，再考虑其他元素。 ②位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置。 ③整体排除法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数。 （4）对解组合问题，应注意以下三点： ①对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法。 ②是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其原则是“正难则反”。 ③设计“分组方案”是解组合题的关键所在。 2.解排列、组合题的基本策略与方法 （1）去杂法 对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理 某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。这是解排列组合问题的基本策略之一。注意的是：分类不重复不遗漏，即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。 （3）分步处理 与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步，其原则是先分类，后分步。 （4）插入法（插空法） 某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插入法。即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。 （5）“捆绑”法 把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”。将特殊元素在这些位置上全排列，即是“捆绑法”。 （6）穷举法： 将所有满足题设条件的排列与组合逐一排列出来。 （7）探索法： 对于复杂的情况，不易发现其规律的问题，需仔细分析，从特殊到一般，或一般到特殊，探索出其中规律，再给予解决。 （8）消序处理 对均匀分组问题的解决，一定要区分开是“有序分组”还是“无序分组”，若是“无序分组”，一定要清除均匀分组无形中产生的有序因素。 （9）“住店”法 解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复。把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店”法。 （10）等价命题转换法 将陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题。这是解数学题的主要思想方法之一，也是解较难的排列、组合题的重要策略。 在排列组合中，常对同一问题可有不同的分类办法去解，可得到有关排列数与组合数的不同关系式。 排列组合十三法 一．相邻问题捆绑法 把题中规定相邻的几个元素并为一组（当作一个元素）参与排列。 例1：A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有（ ） A、60 B、48 C、36 D、24 二．相离问题插空法 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端。 例2：七人站成一排，如果甲，乙二人必须不相邻，则排法有（ ） A1440 B3600 C4820 D4800 三．定序问题对称法 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用对称思想解题，先排后除。即； 例3：A，B，C，D，E五人站一排，B必须站A右边，则不同的排法（ ） A24 B60 C90 D120 引例：晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又加了2个节目，若将这2 个节目插入原节目单中，则不同的插法有（ ）种。 四．定位问题优先法 某个（或几个）元素要排在指定位置，可先排这个（或几个）元素，再排其他元素。 例4：一个老师和四名学生排成一排，教师不在两端，则不同的排法有（ ）； 五．多排问题单排法 把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。 例5：八人站前后2排，每排4人，其中某2人站在前排，某1人站在后排有（ ）种排法； 六．乱座问题分步法 把元素排列到指定号码位置上，可先把某个元素按规定排入，第2步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。 例6：将数字1，2，3，4填入标号为1.2.3.4的四个方格，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ 种） 七．多元问题分类法 元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容几类情况，分别计算，最后总计。 例7：由0.1.2.3.4.5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）个。 八．“至少”问题间