学科方法综合几何法.doc

学科方法·综合几何法? 在平面解析几何中，利用直线、圆和圆锥曲线的几何性质解题的方法叫做综合几何法．这种方法利于培养数形结合的观点，减少计算量，使问题获得巧解． (一)利用平面几何知识解题 例1 ?已知⊙O的方程为x2＋y2=r2，点A(-r，0)、B(r，0)，M是⊙O上任一点，过A作M处的切线的垂线AQ交BM的延长线于P，求动点P的轨迹方程． 【解】? 如图2－12，连MO，则OM⊥MQ，从而OM∥AP． ∵? |BO|=|OA| ∴? |AP|＝2|MO|＝2r． 于是动点P的轨迹是以点A为圆心，|AP|=2r为半径的圆． 设P(x，y)，则P的轨迹方程为 (x+r)2+y2＝(2r)2． 【解说】? 本例利用圆的切线的性质和三角形中位线定理，其解法十分明快、简捷． 例2 ?已知圆O′：(x-14)2＋(y-12)2=362内一点C(4，2)和圆周上两动点A、B，使∠ACB=90°，求斜边AB的中点M的轨迹方程． 【解】 ?如图2－13，连结MO′、MC、BO′，则O′M⊥MB，|MC|=|AM|=|MB|．设M(x，y)，则在Rt△BMO′中，|O′M|2+|BM|2=|O′B|2，又|BM|=|CM|， ∵? |O′M|2＋|CM|2=|O′B|2， 即(x-14)2+(y-12)2＋(x-4)2+(y-2)2=362， ∴? 动点M的轨迹方程为 x2＋y2-18x-14y-468＝0． 【解说】 ?本例利用圆的垂径定理和直角三角形的性质，使一个运算量较大的习题，得到极其简便的解法，充分显示了平面几何知识在解析几何中的应用． (二)利用圆锥曲线的定义和几何性质解题 例3 ?已知一动圆P与圆O1：(x+1)2＋y2=1外切，与圆O2：(x-1)2+y2=9内切，求动圆圆心P的轨迹方程． 【解】 ?如图2－14．设动圆圆心P的坐标为(x，y)，它的半径为r．由已知，得两定圆的圆心分别为O1(-1，0)、O2(1，0)，半径分别为r1=1，r2=3． ∵? 动圆P与⊙O1外切，与⊙O2内切， ∴? |PO1|=1+r，|PO2|=3-r， ∴? |PO1|+|PO2|=4． 即动点P到两点O1、O2的距离之和等于4． 从而由椭圆的定义，得动点P的轨迹是以两定点O1、O2为焦点，长轴长为4的椭圆．由于⊙O1与⊙O2内切于点M(-2，0)，所以轨迹中不包括点M．故动点P的轨迹方程为 【解说】? 本解法的特点是利用椭圆的定义和两圆相切的条件． 例4 ?如图2-15，F是圆锥曲线的焦点，P1P2是焦点弦，e、p分别是离心率和焦参数(即焦点到准线的距离|FF1|)，求证 【证明】? 如图2-15，过P1、P2分别作准线L的垂线，垂足分别为Q1、Q2． 由圆锥曲线的定义，得 【解说】? 本解法的特点是灵活利用圆锥曲线的统一定义和线段定比分点公式． ? 习题2．5 ? 用综合几何法解证下列各题： 焦点，AB为左支上过F1的弦，且|AB|m，则△ABF2的周长是____． 2．已知△ABC的两个顶点A(-a，0)、B(a，0)(a＞0)，顶点C在运动，且|AC|=2b(b是定值)，求BC中点P的轨迹方程． 3．已知 ABCD的相对两个顶点A(-4，6)、C(8，2)，过原点O作一直线l把平行四边形的面积分成相等的两部分，求直线l的方程． 焦点也是F2，C1的准线与C2的准线重合，P是C1与C2的一个交点，求证： 5．已知椭圆的两个焦点是F1、F2，Rt△PF2Q的直角顶点为P，P、Q在椭圆上，F1在线段PQ上，且|PQ|=|PF2|，求这椭圆的离心率． 6．从过抛物线x2=2py(p＞0)的焦点F的弦AB的端点向准线l引垂 ? 习题2．5答案或提示 ? 1．周长=(|AF2|-|AF1|)+(|BF2|-|BF1|)+2(|AF1|+|BF1|)=2a+2a+2m=4a+2m． 3．设AC与BD交于G，则平面几何知识可得，所求的直线l过点G．l的方程为y=2x． 4．设C2：y2=2px、C1的离心率为e，点P到C1的左准线的距离为d，则由抛物线、双曲线的定义，得|PF2|=d， 6．(1)因为|AF|=|AA1|、|FB|=|BB1|、AA1∥y轴∥BB1，所以∠AFA1=