世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题.docVIP

世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题请你做下面的游戏：一笔画出如图1的图形来。 规则：笔不离开纸面，每根线都只能画一次。 这就是古老的民间游戏——一笔画。 你能画出来吗？ 如果你画出来了，那么请你再看图2能不能一笔画出来？ 虽然你动了脑筋，但我相信你肯定不能一笔画出来！ 为什么我的语气这么肯定？我们来分析一下图2。我们把图2看成是由点和线组成的一种集合。图里直线的交点叫做顶点，连结顶点的线叫做边。这个图是联通的，即任何二个顶点之间都有边。很显然，图中的顶点有两类：一类是有偶数条边联它的，另一类是有奇数条边联它的。一个顶点如果有偶数条边联它的，这点就称为偶点；如果有奇数条边联它的，就称它为奇点。我们知道，能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。另一类是只有二个奇点的图形。图2有六个奇点，四个偶点，当然不能一笔画出来了。 为什么能一笔画的图形只有上述两类呢？ 有关这个问题的讨论，要追溯到二百年前的一个著名问题：哥尼斯堡七桥问题。 十八世纪哥尼斯堡城今俄罗斯加里宁格勒的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图所示。城中的居民经常沿河过桥散步提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题。这个问题看起来似乎，人始终没有能找到答案大数学家欧拉。欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的。欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图所示。 图4 图5 于是“七桥问题”就等价于图中所画图形的一笔画问题了。欧拉注意到，欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。 七巧板图： 二、【棋盘格上的数学传说国际象棋是舍罕王的宰相西萨·班·达依尔发明的。他把这个有趣的娱乐品进贡给国王。舍罕王对于这一奇妙的发明异常喜爱，决定让宰相自己要求得到什么赏赐。西萨并没有要求任何金银财宝，他只是指着面前的棋盘奏道：“陛下，就请您赏给我一些麦子吧，它们只要这样放在棋盘里就行了：第一个格里放一颗，第二个格里放两颗，第三个格里放四颗，以后每一个格里都比前一个格里的麦粒增加一倍。圣明的王啊，只要把这样摆满棋盘上全部六十四格的麦粒都赏给您的仆人，他就心满意足了”，舍罕王听了，心中暗暗欣喜：“这个傻瓜的胃口实在不算大啊”。他立即慷慨的应允道爱卿，你当然会如愿以偿的！但当记麦工作开始后不久，舍罕王便暗暗叫苦了，因为尽管第一袋麦子放满了将近二十个格子，可是接下去的麦粒数增长竟是那样的快，国王很快意识到，即使把自己王国内的全部粮食都拿来，也兑现不了他许给宰相的诺言了！舍罕王由于失算而欠了西萨一大笔债，他为顾全面子而选择了什么样的善后措施我们已不得而知，但计算一下他的债务确是一件很有趣的事。我们知道，这位聪明的宰相所要求的麦粒总数，实际上是等比数列1，2，4，8，…的前六十四项和，即二的六十四次方减一，为一个二十位的大数：18,446,744,073,709,551,615。 这些麦粒究竟是多少呢？如果一升小麦按150，000粒计算，这大约是140万亿升小麦，按目前的平均产量计算，这竟然是全世界生产两千年的全部小麦！！