定理的计算应用及幂等变换的性质特征.doc

定理的计算应用及幂等变换的性质特征 （集美大学理学院 朱荣坤） 传统的《高等代数》教材，在介绍完定理（即：方阵的特征多项式是的零化多项式）之后，利用该定理对“线性空间的直和分解”和“最小多项式”理论推导了相关结论，但未涉及它在计算方面的应用。以下简单考虑定理在矩阵计算方面的两个应用，旨在抛砖引玉。 求矩阵大方幂 一般地，矩阵大方幂的求法有二：一是寻找规律，利用数学归纳法；二是该矩阵可以对角化，从而转化为对角矩阵的方幂运算。利用定理也不失为一个有效的方法，值得在教学过程中加以介绍。 例 ，求 解：特征多项式，由带余除法可设 令，得；令，得 又是三重根，故有，得 最后有 利用定理即得： 求逆矩阵 例 可逆矩阵的逆矩阵与伴随矩阵都可表示为的多项式。 证 设特征多项式，利用定理 则有 而可逆，得，从而 以及 证毕。 [利用该结论即可做具体的求逆计算] 幂等变换是一类较为常见的线性变换，它有着良好的性质特征，并且涉及了线性变换的诸多内容，对训练学生融会贯通“线性变换”知识点有较好的作用。以下对幂等变换的良好性质作归纳整理，供教学上参考。 设A是维线性空间的幂等变换(A2=A)，则有以下结论： A的特征值只能是1或0； A只有特征值0当且仅当A是零变换； 值域A＝对应于特征值1的特征子空间 核A－1（0）=对应于特征值0的特征子空间＝A； 4. ＝A A－1（0），且A是平行于核在值域上的投影； [考虑A+(E-A)易证] 5. 值域A与核A－1（0）对的线性变换B不变的充要条件是A,B可交换； 6. E+A 为可逆变换； [逆为E-A/2] 7. 秩（A）＋秩（E-A）＝； [A－1（0）＝A=（E-A）,已知A与A－1（0）的维数和＝] 8. A必可对角化,且关于某个基的矩阵为. 【主要参考文献】 《高等代数》（第三版），北京大学数学系，高等教育出版社，2003.7