定积分的定义很长.doc

定积分 定积分的定义很长，初学者难以理解和记住，试解释之。 答 学习定积分概念，先要从引例入手（如求曲边梯形的面积等），从中体会无限分割与无限求和的必要性与可行性，然后过渡（或曰抽象、概括）到一般的定义，要理解和记住定积分定义，可将长长的定义分解成如下六句话，逐句体会其涵义和作用，就不难理解和记住了。 前提（必要条件）：对所论函数提出了限制——在[a,b]上有界（否则不可积）； 分法：对所论区间任意分割成n个小区间（i=1,2,….n），其长度也记为； 取法（近似）：在每个小区间＝上任取一点作为代表，并计算函数值，作乘积——以小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积； 求和：，即以梯形面积近似代替所求曲边梯形的面积； 取极限：，这就促成了上述近似向精确的转化； 下结论：如果上述极限值I存在，且与分法和取法无关，自然就是曲边梯形面积的准确值，抽象到一般，此极限值I叫做函数在区间[a,b]上的定积分，记做。 记住上述六句话前的关键词，用语言表述就是完整的定积分定义。 定积分定义很重要，今后学习二重、三重积分，曲线与曲面积分时，还会遇到结构上与表述上都类似的定义，它们统称黎曼积分，而把和称为黎曼积分和，表示在I上黎曼可积。理解了定积分定义，对学习后几种更复杂的积分会有帮助，读者应充分的重视。 定义中间的四句话，即“分割、取点、求和、取极限”，是定义的核心部分。它们分别体现了“化整为零、以不变代变、积零为整、以极限代准确”的辨证思考方法，促使近似向精确转化，这种无限分割（微分）与无限求和（积分）的方法，是微积分的基本思想方法，微积分的奥妙之处正蕴涵于其中，读者要仔细体会之。 对于定义在[a,b]上的函数，改变它的有限个函数值以后，在[a,b]上的可积性与积分值是否会改变？为什么？ 答 不会改变。（1）设在[a,b]上可积，则与的取法无关，于是我们选取不是那些改变函数值的对应点就行了，可见不会改变的可积性与积分值。（2）反之，设在[a,b]上不可积，倘若改变的有限个函数值以后得到的新函数在[a,b]上可积，那么再变回到f，有已证（1），在[a,b]上也可积，得到矛盾。综上可知，改变在[a,b]上的有限个值不会改变在[a,b]的可积性与积分值。 特别的，由上述可知，在[a,b]的定积分等于在（a，b）（a,b）、[a,b]上的定积分。 3.为什么要学习定积分的近似计算法？ 答 实际问题往往是很复杂的，有的被积函数不能用初等函数表示（例如河床截断面的曲线等），只能用复杂的曲线或表格形式给出，有的函数的原函数不能用初等函数表出，这时后述的N－L公式及其它积分法都用不上了，这就需要学习近似方法求定积分的近似值，可以解决许多实际中的计算问题。 我们已有N－L公式和不定积分的换元法和分部积分法，为什么还要讲定积分的换元法和分部积分法？ 答 换元法与分部积分法也是计算定积分最常用的方法，虽说N－L公式是计算定积分的最基本方法，可以将计算定积分划归为计算不定积分并可用这两种方法计算，但直接用这两种方法计算定积分有其独特和简明快捷之处。读者容易理解定积分换元法的重要作用，它可以直接代入新积分限计算，而省去了代回原变量的工作；在定积分的分部积分法中，也可以先算出数值使书写简便，而且在后面的计算傅立叶级数的系数时，还要经常使用定积分的分部积分法。此外，有些原函数积不出来，不可能用不定积分和N—L公式计算，但用定积分的换元法或分部积分法，可使积不出来的部分积分抵消，从而算出结果。 运用定积分的换元法时应注意什么？ 答 （1）公式从左到右是代入法，从右到左是凑合法，两种换元法都可使用该公式； （2）在使用换元公式时，积分上、下限要换成相应于新积分变量的积分上、下限，但如果在凑元法中没有引入新变量，则不必更换积分限。简言之，即“换元要换限，凑元不换限”。 （3）换元后不必代回原变量，只要把新变量t的积分下、上限分别代入的原函数中相减就行了。 （4）要注意公式成立的条件，否则可能会出现错误。