实验猜想 向量证明.doc

PAGE PAGE 6 实验猜想 向量证明  抛物线有关焦点弦几何性质的探究 广东省珠海市第二中学(519000) 黄臻峰 摘要：提起数学，想到抽象，这是事实。它使不少学生对学习数学缺乏兴趣，甚至“谈虎色变”。解决这个问题的有效方法是改变陈旧的教学方法。只要坚持非形式化引导下的直观教学，如由特殊到一般的实验操作，暴露知识探究过程，将能做到遵循学生认知规律，充分发挥学生主体作用；学生对抽象的论证是可以接受的，学习数学的兴趣和创新意识是可以培养起来的。 关键词：实验；直观；特殊；一般；猜想；向量；证明 在抛物线有关焦点弦的演化图形中，有许多有趣的几何性质，这些性质是高考的重点考查对象。本文采用实验手段，不但探究出熟知的性质，也探究出新的有趣性质。按一般实验模式，教师创设问题情境，学生实验，从图形直观获取的感官认识进行猜想，再对猜想加以逻辑证明。这个过程是一个从特殊到一般、具体到抽象、感性到理性的认知过程，符合学生认知规律；也是一个学生亲历知识的建构，充分发挥主体的过程。它使学生深入学会知识，掌握认识、发现知识的方式和方法。本文对猜想的性质用向量加以证明，主要是考虑到在新编教材中，向量是新增加的内容，在解析几何中的应用几乎没有，学生很陌生，有必要让学生体会解析几何问题的向量解法。 Ayx A y x F K O B l 图2 x l K O A B F y 图1 (，准线交对称轴于点， 过焦点的弦为，设，， 0)，不妨设＞0,＜0 。 实验图纸：给每位学生发几何画板画 出的图1(特殊位置，即为通径)和图2 (一般位置) 的图片若干张。 一、预备性质=、的证明 证明：如图2, =(－，)，=(－，)，∵、、三点共线, ∴ (－)= (－)，∴－－+=0 （1）， 因A、B在抛物线上，∴=，=代入（1），因式分解得 （－）(+)=0。 ∵≠， ∴=－2 (新编教材第二册(上)119页8·5第7题)。∴==。 二、几何性质的实验探究 提出问题：要获取与有关的几何性质，该如何对图1、图2进行演变？ 师生共识：既然是探究与有关的几何性质，那么，图形的演变就应该从中的、、出发，作其它线的平行线或垂线，或与其它点连结作直线。 1、与对称轴平行 提出问题：图1、图2中，是否能通过连结两点作直线。得到平行于对称轴的直线？ 学生实验：先从特殊图形入手，图1中，发现、只能与或连结，若与连结，则得不到平行于对称轴的直线。若与连结，如图3，作直线交于，连结并观察，发现∥对称轴。 不难给予逻辑证明：由平行线等分线段定理，有，由三角形中位线定理得∥。同理，作直线交于，连结，则∥对称轴。 特殊成立为一般成立提供可能，只有一般成立了，才能说命题成立。学生继续实验一般图形。如图4，直观发现也有此性质。 因此猜想：、∥对称轴。