对信号和系统进行分析.doc

PAGE PAGE 32 Z变换 对信号和系统进行分析，可以有时域分析（卷积和、差分方程）、复频域分析（Z变换）、频域分析（离散傅里叶变换）。下面我们来学习复频域分析。Z变换类似于连续系统中的拉氏变换，它在离散时间系统中的作用就如同拉斯变换在连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。因而对求解离散时间系统而言，z变换是一个极其重要的数学工具。z变换的概念可以从理想抽样数据信号的拉普拉斯变换引出。也可以独立地对离散时间信号(序列)给定z变换定义。 本章主要分以下几大方面进行讨论： z变换定义式的引入； z变换的收敛域； z反变换； z变换的基本性质和定理； z变换、拉普拉斯变换、傅里叶变换的相互关系，序列的傅里叶变换； 离散系统的系统函数，系统的频率响应，因果稳定系统。 2.1 Z变换的定义与收敛域 若序列为x(n)，幂级数称为序列x(n)的z变换，其中z为变量。亦可将x(n)的z变换表示为。我们知道是一幂级数，只有收敛时z变换才有意义。也就是要求。因此我们必须讨论z变换的收敛问题。X(z)是否收敛，决定于z，X(z)能够收敛的z的取值集合称为z变换X(z)的收敛域，也即只有z在收敛域内取值上述z变换才有意义。因为z是一个复变量，假设z=z1能使X(z)收敛，则|z|=|z1|上的点都能使X(z)收敛。这样，在分析收敛域之前，有个大致印象，即收敛域一定是中心在原点的圆环或圆。 例1 ，在z平面上画出零极点图。指出：收敛域与极点有关；指出右边序列和因果序列的概念；注意这种序列收敛域的形式。 例2 ，做和例1同样的分析。比较例1和例2，X(z)的表达式和零极点是一样的，但两个序列是不同的。说明对于一个给定序列的z变换，要求同时提供z变换的表达式和收敛域。 例3 分析该序列的形式，画零极点图。 例4 ，因为是有限项，所以只要有限即可，a是系数，是有限，这样只需z不等于零就是有限。所以收敛域为除原点外的整个z平面。画出零极点图。 不同的x(n)对应不同的z变换收敛域，根据以上的分析，下面我们直接给出不同形式的序列所对应的z变换收敛域。 例5 ，讨论X(z)收敛域的形式及其对应序列的种类。 两个极点：2和1/3，对应三种情况：|z|2因果序列；|z|1/3，左边序列；1/3|z|2，双边。 结论：在有限z平面内没有极点时，是有限长序列；反之是无限长序列。 2.2 z反变换 根据X(z)和收敛域来确定x(n)，就是求z反变换。求z反变换的方法通常有三种：围线积分法(留数法)，幂级数展开法(长除法)及部分分式展开法，也有一些不正统的方法。 观察法 记住常用序列的z变换。要求记住：如，，。见书上54页表。 部分分式法：前面对一些常用序列的z变换记住了，就可以将X(z)表示成简单项之和的形式，而其中的每一项都可以查表。如果都是单阶极点时，写出分解式。求出系数即可。多阶极点复杂些。 例1 书上55页例2-7 例2 。 幂级数展开法：因为， 将z前面的系数提出来组成的序列即为序列x(n)。 例 ，只有在z=0处有极点。用别的方法不好使，将式子展开得，可以看出x(-2)=1,x(-1)=-1/2,x(0)=-1,x(1)=1/2,其它x(n)=0，所以 长除法：除法运算，先由收敛域判定序列性质，右边序列，则按z降幂排列进行长除；左边序列，则按z升幂排列进行长除。讲解书上的例题。 留数法/围线积分法：最有用的一种方法，任何形式的X(z)都可求出x(n)，但计算量有点大。根据复变函数理论，若，，则 ，即c是收敛域中的一条逆时针方向转的闭合曲线。 证明： ，在收敛域中任选一条满足条件的围线c，沿c做积分。。令，可得，所以上式为：，得证。 可以利用留数定理来求上面的围线积分，公式为书上（2-18）式。注意：1）留数定理中的极点不是指X(z)的极点，而是的极点； 2）利用留数定理求z反变换时，先根据X(z)的收敛域确定x(n)的性质（左，右），然后根据F(z)的极点位置选择公式； 3）注意X(z)与在z=0处的极点的变化，阶次大于1时，求留数就复杂一些。 4）X(z)与只在z=0处的极点不同，其它都相同。 2.3 z变换的性质和定理 在研究离散时间信号与系统中，z变换的许多性质是特别有用的。这些性质往往与z反变换级数联系在一起，可以用来求得更为复杂表达式的z反变换。总之，z变换的性质定理能简化计算。下面讨论几个最常用的性质。 线性 ，收敛域至少为两个序列的收敛域的相交部分。什么时候等于两个序列收敛域的相交部分？当的极点由全部的极点组成，即如果没有任何零极点相消