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教学素材/幂函数、指数函数和对数函数 教学素材/幂函数、指数函数和对数函数 对数函数例题讲解 例1．已知函数（a 0， b0）． （1）求函数f ( x )的定义域； （2）判断函数f ( x )的奇偶性，并予以证明； （3）指出函数f ( x )的单调区间； （4）求函数f ( x )的反函数． 分析：本题f ( x )是复合函数，且解析式中含参数a、b，研究其性质要有分类讨论的准备． 解：（1）由 得 或， ∴函数f ( x )的定义域为{ x | 或}． （2）对上述f ( x )的定义域内的任意x，有 ， ∴ f ( x ) 为奇函数． （3）f ( x ) 由 （b 0）与y = loga u复合而成， 且f ( x )的定义域为{ x | 或}． 其中，显然在及是增函数 于是得： 当a 1时，f ( x )在（－∞，）上，在（，+∞）上都是增函数； 当0 a 1时， f ( x )在（－∞，）上，在（，+∞）上都是减函数． （4）由 得 ． ∴ ． ∴ ，y ≠ 0． ∴ 所求的反函数 （x∈R且x ≠ 0）． 例2．已知函数 f ( x ) = lg ( ax2 + 2x + 1 )． （1）若函数f ( x )的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若函数f ( x )的值域为R，求实数a的取值范围． 分析：f ( x )的定义域为R，即x的不等式ax2 + 2x + 1 0的解集为R，由此求a的范围是有据可依的． f ( x )的值域为R与ax2 + 2x + 1的值恒为正值是不等价的，因为这里要求f ( x )的值要取遍一切实数，即要求u = ax2 + 2x + 1的值取遍一切正数，由此确定a的取值范围，可以先考察函数u = ax2 + 2x + 1取值的各种可能情况： 依上图可知，此时a的取值范围只能是a = 0或 解：（1）f ( x )的定义域为R，即 x的不等式 ax 2+2x+1 0的解集为R． 当a = 0时，此不等式为2x+1 0，其解集不为R； 当a≠0时，有 a 1 ． ∴ a的取值范围为a 1． （2）f ( x )的值域为R，即 u = ax 2+2x+1的值取遍一切正数 a = 0 或 0≤a≤1． ∴ a的取值范围为 0≤a≤1． 本题实际上是考察一个二次函数取值的规律，除利用图像用好数形结合法外，还要注意运动变化、分类讨论等数学思想的运用． 例3．已知f ( x )是定义在[－1，1]上的奇函数，又f ( 1 ) = f (－1 )，当x∈（0，1）时， ． （1）求函数f ( x )在[－1，1]上的解析式； （2）指出f ( x )在（－1，1）上的单调性，并说明理由． 分析：由当0 x 1时，及f ( x )是定义在[－1，1]上的奇函数，则当－1 x 0时，f ( x )的解析式不难求得．要注意再求f (－1 )，f ( 0 )，f ( 1 )的值，才能对（1）作出完整的回答． 对于（2），则应依据函数单调性定义作探索．但由于f ( x )是奇函数，故只需探索f ( x )在（0，1）上的单调性． 解：（1） ∵ 当x∈（0，1）时，，且f ( x )在 [－1，1]是奇函数， ∴ 当x∈（－1，0）时，， 且f ( 0 ) = 0，f (－1 )=－f ( 1 )． 又 f ( 1 ) = f (－1 )，故f ( 1 ) = －f ( 1 )． ∴ f ( 1 ) = 0，f (－1 ) = 0． 于是 （2）任取x1，x2 使 0 x1 x2 1，则： ． 显然， 0，0， 又当 0 x1 x2 1时，，1， ∴ 0，即， ∴ f ( x )在（0，1）上是增函数． 任取x1，x2 使－1 x1 x2 0，则 0 (－x2 ) (－x1 ) 1， ∴ ． 又f ( x )是[－1，1]上的奇函数， ∴ ， 于是有 ． ∴ ． ∴ f ( x )在（－1，0）上也是增函数． 由于当0 x 1时，f ( x ) 0，－1 x 0时，f ( x ) 0，又f ( 0 ) = 0，故不能说f ( x )在上，上是增函数，也不能说f ( x )在（－1，1）上是增函数． 例4．求函数 在[1，4]上的最大值和最小值，并求相应的x的取值． 分析：从研究函数在[1，4]上的单调性入手． 解：任取x1，x2 使 0≤ x1 x2 ≤ 4， ∴ ∴ ． 并且 ， ∴ ， ∴ 函数 在[1，4]上是增函数． ∴ 当x = 1时，y取最小值，为1； 当x = 4时，y取最大值，为65． 函数的最大（小）值与单调性都是函数值变化规律的问题，本题解法体现了两者的内在联系． 例5．已知函数