导数的应用之二切线与速度的问题.doc

PAGE PAGE 10 导数的应用之二：切线与速度的问题 (3课时) 用导数求曲线的切线 函数在处导数的几何意义，就是曲线在点处切线的斜率，也就是说，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。 利用上述结论，可以求解曲线的切线以及相关的问题。 用求导法求曲线的切线的斜率是行之有效的方法，它不仅适用于二次曲线，对于任何可导函数都适用。如果要求的切线过某点，一定要注意验证这点是否在曲线上。如果这点在曲线上，可直接通过求这点的导数（斜率）来求切线方程，如果这点在曲线之外，一般需设切点，求出这点的导数，然后通过解方程组来确定切点，最后根据两点式确定切线方程。 利用导数求瞬时速度 物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在时的导数，即有。 利用导数的这个物理意义，可以帮助我们获得按规律运动的物体的瞬时速度。 范例分析 例1．求过抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上一点P（x0，y0）处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质。分析：为求斜率，先求导函数：y=2ax+b，故切线方程为y－y0=(2ax0+b)(x－x0) 即　　y=(2ax0+b)x－ax+c，亦即y=(2ax0+b)x－ax+c.　　抛物线焦点：F（－,），它关于切线的对称点之横坐标当x0，说明从焦点发出的光线射到（x0，y0）经抛物面反射后反射光线平行于对称轴，反之亦然。　　要求过曲线上一点处的切线方程，一般先求出该点的导数值（斜率），再用点斜式写出后化简，同时我们还可以据此写出该点处的法线方程。 解：显然，y0=ax+bx0+c　　y=2ax+b　 故在P点处切线斜率为2ax0+b，　　切线方程y－(ax+bx0+c)=(2ax0+b)(x－x0)，　　亦即y=(2ax0+b)x－ax+c.　　由于y=ax2+bx+c按向量=平移即得到y=ax2，只须证明过其上一点（x0，ax）的切线l ：y=2ax0x－ax 满足：焦点关于l的对称点为（m，n）.　　当x0≠0时，消去n. 知 m=x0.　　当x0=0时，切线为y=0，F之对称点横坐标显然是0，　　故从焦点发出的光线射到（x0，ax）后被抛物面反射后的方程为x=x0（与对称轴平行）；反之，与对称轴平行的光线被抛物面反射后必聚汇于焦点. 例2．求函数y=x4+x－2 图象上的点到直线y=x－4的距离的最小值及相应点的坐标.分析：首先由 得x4+2=0 知，两曲线无交点.　　y=4x3+1，切线要与已知直线平行，须4x3+1=1，x=0.　　故切点：（0 , －2）　　一般地，当直线l与y=f(x)的图像无交点时， 与l平行的切线与l间距离应为图像上点到l的 距离的最值，以最小值为例（如图）与l平行的 直线若与曲y=f(x)相交，（A为一交点），则l与l间必存在y=f(x)上的点C，显然，C点到l的距离小于l与l间的距离，亦即A到l的距离.　　当然，我的也可用参数直接考虑：设(x0，x+x0－2)为y=f(x)图象上任意一点，它到l的距离d==≥=， 故距离最小距离为　 　上述等号当且仅当x=0时取得，故相应点坐标为（0，2）。解：y= 4x3+1，令4x3+1=1，x=0. 由此知过曲线上点（0，－2）的切线方程y=x+2 与已知直线平行，它到 已知直线距离最近，为d== . 例3．已知一直线l经过原点且与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，试求直线l的方程。 分析： 设切点为（x0，y0），则y0＝x03－3x02＋2x0，由于直线l经过原点，故等式的两边同除以x0即得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线斜率，便可建立关于x0的方程。在两边同除以x0时，要注意对x0是否为0进行讨论。 解：设直线l：y＝kx 。 ∵y＝3x2－6x＋2， ∴y|x=0＝2，又∵直线与曲线均过原点，于是直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2相切于原点时，k＝2。 若直线与曲线切于点(x0，y0) (x0≠0)，则k＝，∵y0＝x03－3x02＋2x0， ∴=x02－3x0＋2， 又∵k＝y|＝3x02－6x0＋2， ∴x02－3x0＋2＝3x02－6x0＋2，　∴2x02－3x0＝0， ∵x0≠0，　∴x0＝，　∴k＝x02－3x0＋2＝－， 故直线l的方程为y＝2x或y＝－x。 例4．已知曲线及其上一点，过作C的切线，与C的另一公共点为（不同于），过作C的切线，与C的另一公共点为（不同于），…，得到C的一列切线，，…，，…，相应的切点分别为，，…，，…。 （1）求的坐标； （2）设到的角为，求之值。 解：（1）设，过作C的切线。 C在处的切线的方程为：，代入，并整理得。 即（舍去）或。 由题意，，从而，（n∈N*） 即； （2）的斜率。 的斜率。 。 例5．在直