导函数介值性定理的推广及其应用.doc

楚雄师范学院本科论文（设计） PAGE PAGE 19 导函数介值性定理的推广及其应用 李 霞 （楚雄师范学院数学系2004级2班） 指导老师 郎开禄 摘要：本文给出了导函数介值性定理的几种推广形式，并讨论了导函数介值性定理的应用. 关键词：导函数；介值定理；推广；应用 Generalizations and applications of the derived function intermediate value theorem Abstract:In this paper ,several generalization forms and applications of the derived function intermediate value theorem are discussed. Key words: the derived function ;intermediate value theorem; generalization; application 导师评语： 在[6]([6].介值定理的推广及其应用[J].陕西工学院学报,2000,4:70-76)从不同方面推广了连续函数介值定理,并深入讨论了其应用. 李霞同学的毕业论文导函数介值定理的推广及其应用深入的从不同方面推广了导函数介值定 理,获得了广义的导函数介值定理(文中的定理10及其推论,定理14、定理18、定理22、定理26及定 理27),并深入讨论了其应用. 李霞同学的毕业论文导函数介值定理的推广及其应用选题具有理论与实际意义,通过深入研究, 进行利了大量的仔细的推理论证,获得了广义的导函数介值定理,并深入讨论了其应用.该论文完成有相 当的难度和技巧性,其结果在理论与实际上都有重要意义.论文语言流畅,打印行文规范,是一篇创新型 的毕业论文.该同学在作论文过程中,悟性好,钻研性强,能吃苦,其应用部分独立完成. 导函数介值性定理的推广及其应用 前 言 导函数介值性定理在研究函数性质方面起着重要的作用,受文[2]、[3]、[4]、[6]的启发,本文讨论了导函数介值性定理的推广,得到了导函数介值性定理的几种推广形式,并讨论了导函数介值性定理的应用. 1导函数介值性定理 定理 (导函数介值性定理或达布定理）若函数在上为可导函数,且,为介于与之间的任一实数,则至少存在一点,使得 . 证明 令,则在上可导,因介于与之间,不妨设,则 , 即 故存在,使时,,时,,即 , (1) 因为在上连续,故在上存在最小值,即存在一点,使在点取得最小值,由(1)可知,这就说明是的极小值点,由费马定理知,即 ,. 2 导函数介值性定理的推广 2.1 导函数介值性定理的几个推论 定理2 若在上连续,且,则至少存在一点,使得 . 证明 由连续函数的零点存在定理直接而得. 推论 若在上连续,且,则至少存在一点,使得 . 证明 (1)若,或,则取或有; (2)若,且,则,于是由定理2知至少存在一点使得. 故综上所述,至少存在一点,使得. 定理3 若函数在上可导,且,则至少存在一点,使得. 证明 因,故不妨设,且,则,于是由导函数介值性定理, 至少存在一点,使得. 推论 若函数在上可导,且,则至少存在一点,使得. 证明 (1)若,或,则取或有; (2)若,且,则,于是由定理3知至少存在一点,使得. 故综上所述,至少存在一点,使得. 2.2 导函数介值性定理的推广 2.2.1 导函数介值性定理的推广一 定理4 若函数在上存在阶导数,且,为介于与之间的任意一个实数,则至少存在一点,使得. 证明 将直接用导函数介值性定理,则至少存在一点,使得. 定理 若,均在上可导,并且在上,,为介于与之间任何值,则至少存在一点,使得. 证明 设,再令 则在上连续,因,则无论,,三者位置关系如何,或在与之间,或在与之间. (1)若在与之间,则在和之间.而在上连续且,由连续函数介值性定理,存在,使得,即 , 而函数和在上都连续,在上都可导,和不同时为零, ,根据微分中值定理知,存在一点,使得 . (2)同理若在与之间,则在和之间.而在上连续且,由连续函数介值性定理,存在,使得,即 , 而函数和在上都连续,在上都可导,和不同时为零, ,根据微分中值定理知,存在一点,使得 . 故综上所述, 至少存在一点,使得. 2.2.2 导函数介值性定理的推广二 定理6 设函数在内可导,,存在,且 , 则至少存在一点,使得.(为常数). 证明 因为,故存在,,有 , 又因为,故存在,,有 , 取,则,于是由导函数介值性定理,至少存在一点,使得. 推论 设函数在内可导,,存