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2. 简单无理函数的积分 例8. 求 +例9. 求 +例10. 求 3、积不出来的函数 一.换元法: 例1. 求 例3. 求 例4. 已知 例5. 求下列积分: 例7. 证明递推公式 二.分部积分 例1. 求 例2. 求 例3. 求 例4. 求 P139, 总练习题四, 3 +例1. 求 +例2. 求 +例2. 求 +例3. 求 思考与练习 3-习7. 求 例4. 求 例5. 求 例6. 求 例8. 求 例9. 设 例10. 求 解: 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析: 解 : 原式 分部积分 例7. 求不定积分 解: 原式 解: 令 则 原式 令 令 被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如: 令 解: 令 则 原式 解: 令 则 原式 解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的 最小公倍数 6 , 则有 原式 令 第四章 不定积分 习 题 课 主要内容为微分的逆运算—不定积分法. 1. 基本概念 2. 计算 (1) 基本积分法 第一换元积分法又叫凑微分法. 凑 第二换元积分法又叫代换法. 换 2) 分部积分法 关键是要恰当选取u和dv. 1) 换元积分法 原函数与不定积分. 第四章 不定积分 习题课 (2) 特殊类型函数的积分 1) 有理函数积分 2) 三角函数有理式积分 3) 简单无理函数的积分 有理函数积分是关键,一定要很好掌握. 一方面, 另一方面, 第四章 不定积分 习题课 注 有理函数的原函数都是初等函数; 三角函数有理式,无理函数的积分 最后总是归结为一个有理函数的积分. 1. 第二类换元法常见类型: 令 令 令 或 令 或 令 或 (6) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 解: 原式 = 例2. 求 解: 原式 P129,18 解：原式＝ 求 解: 两边求导, 得 则 (代回原变量) 解:原式 分子分母同除以 例6. 求不定积分 解: 令 原式 证: 注: 或 分部积分公式 1. 使用原则 : 易求出, 易积分 2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u 后 3. 题目类型 : 分部化简 ; 循环解出; 递推公式 4. 计算格式 : 解: 解: 令 则 可用表格法求 多次分部积分 提示: 解 : 原式 分部积分 解:原式＝ 3). 简单无理式的积分. 1).有理式分解成部分分式之和的积分. （注意：必须化成真分式） 2). 三角有理式的积分.（万能代换公式） （注意：万能公式并不是最佳代换） 有理函数的积分 三.特殊函数类型的积分 可化为有理式的积分. 1. 可积函数的特殊类型 2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 . 简便 , 解: 说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法. 解法 1 令 原式 解法 2 令 原式 解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令 原式 +例4. 求不定积分 解： 令 则 , 故 分母次数较高, 宜使用倒代换. 例5. 求不定积分 解： 原式 = 前式令 ; 后式配元 如何求下列积分更简便 ? 解: 1. 2. 原式 解: 原式= 分析: 解: 原式 * *