左孝凌离散数学4.ppt

定理4.2.9 设有双射 f：A→B 和 g：B→A，则 g＝ f -1 iff g f＝ IA ， f g＝IB 证明: 必要性：定理4.2.8已证。 充分性： 若还有函数ｈ：B→A， 也使 ｈf＝IA， fｈ＝IB 由复合函数的可结合性有(ｈf)g＝ｈ(fg)。 而 (hf)g＝IAg＝g， h(fg)＝hIB＝h， 所以 h＝g。 即满足gf＝ IA ，fg＝IB的函数 g 是唯一的。又由定理4.2.8知，逆函数f -1也满足 条件，所以 g＝ f -1 。 定理4.2.10 设有双射 f：A→B和g：B→C， 则 (gf)-1 ＝ f -1 g -1 。 证明: 因为 f：A→B和g：B→C是双射，故 gf：A→C 是双射，所以 gf 有逆函数 (gf)-1 ：C→A。 而 (gf)(f -1 g -1 )＝(g(f f -1 )) g -1 ＝(gIB) g -1 ＝g g -1 ＝IC 同理可得 (f -1 g -1 )(gf)＝IA。 由定理4.2.9知， f -1 g -1是 gf 的逆函数， 即(gf)-1 ＝ f -1 g -1 。 1. 设f、g均为自然数集N 为上的函数。且 x为偶数 x为奇数 (1)求 g f ，并讨论它的性质（是否是单射或满射）。 (2)设A={0，1，2}，求 g f （A）。 习 题 解: 因为对任何一个y∈N，均有x∈N使得 g f （x）=y， 所以g f 是满射。 （2）g f （A）={1，3} ,2,或x≥5且为奇数 且为偶数 2. 设f：R→R，f（x）=x2-2；g：R→R， g（x）=x+4。 (1)求g。f，f。g (2)问g。f和f。g是否为单射、满射、双射？ （3）求出f、g、g。f和f。g中的可逆函数的逆 函数。 2. 设f：R→R，f（x）=x2-2；g：R→R， g（x）=x+4。 (1)求g。f，f。g (2)问g。f和f。g是否为单射、满射、双射？ （3）求出f、g、g。f和f。g中的可逆函数的逆 函数。 解 :（1） f。g ={〈x,x2+8x+14〉|x ∈ R} g。f ={〈x,x 2+2〉|x∈R} （2）g。f 和 f。g均是非单非满函数。 （3）因为g是双射，所以可逆，其逆函数为： g -1（x）=x-4。 小结：本结介绍了函数的复合运算与逆函数及其性质 . P156 (5). 说明: （1）设 f:X→Y,如果存在c∈Y，使得对所有的x∈X都有f(x)=c，则称f:X→Y是常函数。 （2）任意集合A上的恒等关系IA为一函数，常称为恒等函数，因为对任意x∈A都有IA(x)=x 。 注意:定理4.1.3 只对X和Y 是有限集合的情形成立,在无限集合上不一定有效。 【例如】 f :Z→Z, f (x)=2x.则 f 是单射,但不是满射. (3)设A为集合，对于任意的A′A，A′的特征函数 ：A→{0，1} 定义为 (4)设R是A上的等价关系，令 g: A→A/R a∈A,g(a)= ,其中 是由a生成的等价类，则称g是从A到商集A/R的自然映射。 【例6】 设A={1,2,3,4}, R={〈1,2〉,〈2,1〉}∪IA,求自然映射：g1:A→A/IA，g2:A→A/R。 解 g1(1)={1},g1(2)={2},g1(3)={3},g1(4)={4} g2(1)=g2(2)={1,2}，g2(3)={3}，g2(4)={4} 注意到，A/IA={{1},{2},{3},{4}} ，A/R={{1,2},{3},{4}}，所以自然映射