第一节二重函数的概念与性质.ppt

第八章 重积分第一节 二重积分的概念和性质 二、二重积分的定义 三、二重积分的性质 四、小结 * * 　　设有一立体. 其底面是 xy 面上的区域D, 其侧面为母线平行于 z 轴的柱面, 其顶是曲面 z= f (x, y)?0, 连续. 称为曲顶柱体. 若立体的顶是平行于 xy 面的平面. 则平顶柱体的体积 = 底面积×高. 0 y z x z = f (x,y) D 如图 一、引例 1.求曲顶柱体的体积V. 步骤如下： （1）分割（化整为零）：先分割曲顶柱体的底，把有界闭区域任意分割成n个小闭区域 z = f (x,y) 0 y z x D （ 2）近似代替：由于 很小, z = f (x,y)连续, 小曲顶柱体可近似看 作小平顶柱体. 小平顶柱体的高 = f (? i , ?i). 若记 ?? i = Di的面积. 则小平顶柱体的体积 = f (? i , ?i) ?? i ? 小曲顶柱体体积 f (? i , ?i) (? i , ?i) z = f (x,y) （4）取极限（无限趋近）： （3）求和（积零为整）：将n个小平顶柱体的体积加起来，就得到整个曲顶柱体的体积近似值域 则曲顶柱体的体积为 ２．求平面薄片的质量 （1）分割（化整为零）： 将薄片分割成n个小块， （2）近似代替：任取一小块，将其近似 看作均匀薄片，则其质量近似为 （3）求和（积零为整）： 则薄片总质量为 将所有小块质量近似值相加，便得到整个平面 薄片的近似值 （4）取极限（无限趋近）： 积分区域 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 对二重积分定义的说明： 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值． 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D， 故二重积分可写为 D 则面积元素为 性质１ 当 为常数时， 性质２ （二重积分与定积分有类似的性质） 性质３ 对区域具有可加性 性质４ 若 为D的面积， 性质５ 若在D上 特殊地 则有 性质６ 性质７ （二重积分中值定理） （二重积分估值不等式） 解 解 解