第一节常数项级数的概念.ppt

第十二章 第一节 一、常数项级数的概念 例1. 例3. 例4. 二、收敛级数的基本性质 性质2. 性质4. 级数收敛的必要条件 练习： Koch雪花 * 《庄子》天下篇 “一尺之棰，日取其半，万世不竭” 引例: 无穷多项的和 问题: 数学用表 例如: 问题: 数学用表是怎么造出来的? 事实上, 函数逼近 无穷级数 无穷级数 无穷级数是研究函数的工具 表示函数 研究性质 数值计算 常数项级数 幂级数 傅立叶级数 函数项级数 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质 第十二章 正二十四边形的面积 引例1. 计算圆的面积 A. 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 … … 1. 定义. 常数项级数 (常数项无穷级数) 一般项 部分和数列 部分和: 给定数列 + + + + + 前 n 项和 2. 级数的收敛与发散 定义. 即 叫做级数的余项． 解: 级数收敛; 级数发散． q: 公比 ＝ 级数发散; 级数发散． 结论: 例2. 判断下列级数的 ∴ 级数收敛. 解: ∴ 级数收敛. ∴ 级数发散. 敛散性． 证: ∴ 级数是发散的. 练习: 证明级数 解: ∴ 拆项相消法 性质1. 证: 则 证: 说明: 发散. 例如, 1. 收敛级数可逐项相加或逐项相减 . 性质2. 发散. 证： 同理:在级数前面加上有限项不改变级数的收敛性. 结论：在级数中去掉、加上或改变有限项， 不会改变级数的收敛性. 性质3. 注意：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 收敛; 发散. 去括号后， 推论：如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数 必发散. 证: 性质5. 注意： (1) ∴ 级数发散. (2) 注意： 例如, 调和级数 但调和级数是发散的． 矛盾． 解 解 该级数发散， 从而原级数发散 . 给原级数加括号 2. 判定级数的收敛性: 无穷级数收敛性举例： 　　先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”． 观察雪花分形过程: 第一次分叉： 依次类推