第三章多元正态分布.ppt

第三章 多元正态分布 第一节　　　一元统计分析中的有关概念 一、随机变量和概率分布函数 （一）随机变量 随机变量是随机事件的数量表现。用X、Y、Z表示 有两个特点： 第二节 多元统计分析中的基本概念 第三节 多元正态分布的定义及基本性质 第四节 多元正态分布的参数估计多元正态分布的参数估计.doc * * (二)概率分布函数 随机变量Ｘ的概率分布函数（简称分布函数）定义为： Ｆ（ｘ）＝Ｐ（Ｘ≤ｘ）。 1、离散型随机变量的概率分布 若随机变量X在有限或可列个值上取值，记 且 则称X为离散型随机变量，并称 为离散型随机变量X的概率分布。 它具有两个性质： 2、连续型随机变量的概率分布 对于随机变量X的分布函数， 若存在一个非负函数f（x），使得对 一切实数x有： 则称X为连续型随机变量，称f（x）为X的分布密度函数。 它具有两个性质： 二、随机变量的数字特征 （一）离散型随机变量的数字特征 若X为离散型随机变量，其概率分布为 则X的数学期望（或称均值）和方差分别定义为： （二）连续型随机变量的数字特征 若X为连续型随机变量，其密度函数为f（x），则X的数学期望（或称均值）和方差分别定义为： 数学期望有如下的数学性质： 1.设C是常数，则E（C）=C 2.设X是随机变量，C是常数，则E（CX）=CE（X） 3.设X、Y是任意两个随机变量，则E（X+Y）=E（X）+E（Y） 4.设X、Y是两个相互独立的随机变量，则E（XY）=E（X）E（Y） 方差有如下数学性质： 1.设C是常数，则D（C）=0 2.设X是随机变量，C是常数，则D（CX）=C2D（X） 3、设X、Y是两个相互独立的随机变量，则D（X+Y）=D（X）+D（Y） 三、一些重要的一元分布 1.正态分布 连续型随机变量X的概率密度函数为： 则称X服从正态分布。 2.卡方分布 设X~N（0，1）， 为抽自总体的一个样本，其平方和 服从自由度为n的 分布，记为： 3.t分布 设x~N（0，1）， 且x与y相互独立，则随机变量 的分布称为t分布。记为 4. F分布 设随机变量 且x与y相互独立，则随机变量 服从自由度为（n，m）的F分布，记为 一、随机向量及概率分布 （一）随机向量 将p个随机变量 的整体称为p维随机向量，记为： 在多元统计分析中，仍将所研究对象的全体称为总体。如果构成总体中的个体是由p个需要观测指标的个体，称这样的总体为p维总体，或p元总体。由于从p维总体中随机抽到一个个体，其p个指标观测值是不能事先精确知道，它依赖于被抽到的个体，因此，p维总体可用p维随机向量来表示，这里的维或元表示共有几个分量。例如，要研究某类企业的三项经济效益指标，则所有这类企业的三项经济效益指标就构成了一个三元总体。 对随机向量有连续型和离散型两类。 （二）概率分布 设 是维随机向量，它的多元分布函数定义为： 记为 其中： 1、离散型随机向量的概率分布 定义：若 是p维随机向量，若存在有限或可列个p维随机向量 记 且 则称X为离散型随机向量，并称 为离散型随机变量X的概率分布。 它具有两个性质： 2、连续型随机向量的概率分布 定义：设 若存在一个非负函数 使得对一切 有： 则称X为连续型随机向量，称 为分布密度函数。 它具有两个性质： 二、随机向量的数字特征 设 若 存在且有限，则称 为X的均值向量或数学期望 均值向量有以下性质： 1.E（AX）=AE（X） 2.E（AXB）=AE（X）B 3.E（AX+BY）=AE（X）+BE（Y） 其中：X、Y为随机变量，A、B为适合运算的常数矩阵。 1.随机 向量的数学期望 设 称 为X的方差阵或协差阵. 2.随机向量的协方差矩阵 3.随机向量X和Y的协差阵 当X=Y时，即D(X) 4.随机向量的相关系数矩阵 若 的协差阵存在，且每个分量的方差都大于0，则随机向量的 相关阵为 5.协方差阵和相关系数矩阵的关系 设标准离差阵为 则： 协差阵有如下数学性质： 即X的协差阵为非负定阵。 对于常数向量a，有D（X+a）=D（X） 设A为常数矩阵，则 其中，a，A，B为大小适合运算的常数向量和矩阵。 一、多元正态分布的定义 定义1：若p维随机向量 的密度函数为： 其中： 是p维均值向量， 是p阶正定阵，则称X服 从p元正态分布 ，记为： 当p等于1时，即为一元正态分布。 当 时，也有正态分布的定义。 二、多元正态变量的基本性质 1、若 是对角阵，则 相互独立。 2、 A为s×p阶常数阵，d为s维常数向量，则： 即正态随机向量的线性函数还是正态的。 3、 ,将 做如下剖析： 则 多元分析中的许多方法，大都假定数据来自多元正态