投资的收益和风险与生产计划中的线性规划模型.doc

实验二十三 投资的收益和风险与 生产计划中的线性规划模型 　　一、实验目的 根据投资的收益和风险等实际问题建立数学模型，准确理解建模中有关概念．掌握将双目标优化问题转化为单目标优化问题的思想方法．掌握用Mathematica4.0求解线性规划问题的基本命令． 二、学习Mathematica命令 1．约束最大与约束最小命令ConstrainedMax与ConstrainedMin 用函数ConstrainedMax或ConstrainedMin求线性规划问题．他们的基本格式是 ConstrainedMax[f，{inequalities}，{x，y，…} 在不等式或等式{inequalities}确定的可行区域上求线性目标函数f的最大值，约定变量{x，y，…}都大于或等于0． 　　ConstrainedMin[f，{inequalities}，{x，y，…} 在不等式或等式{inequalities}确定的可行区域上求线性目标函数f的最小值，约定变量{x，y，…}都大于或等于0． 这两个函数有一个可选参数 Tolerance 允许误差（默认值10-6）． 例如输入 ConstrainedMin[1.5x+2.5y,{x+3y?3,x+y?2},{x,y}] 在约束条件中可以使用等号，但要用“= =”表示．输入 　　　ConstrainedMax[5x+3y+2z+4t,{3x+y+2z+8t?10,2x+4y+2z+t?10},{x,y,z,t}] 有时，输出的结果可能有些问题．输入 Clear[x,y,z,t]; 　ConstrainedMax[3x+2y-1,{x1,y2},{x,y}] 注意：约束条件使用严格不等号，结果仍旧取在边界上． 输入 　ConstrainedMax[x+y,{x+y=15},{x,y}] 这个问题有无穷多最优解，这里只给出其中之一，而且没有给出任何提示信息． 无论如何，前面的例题总给出一个最优解，属于正常情况．下面的例子是非正常情况．输入 　ConstrainedMax[x+y,{x-y?0,3x-y?-3},{x,y}] 给出提示，意思是：没有可行解，因此没有最优解． 2．线性规划命令LinearProgramming 当自变量和约束不等式较多时，ConstrainedMax和constrainedMin用起来就麻烦了．将目标函数和约束条件用向量或矩阵表示，然后使用linearProgramming．其一般形式为 LinearProgramming[c，m，b] 其中c为行向量，b是列矩阵，自变量用x表示，该命令即求在满足不等式且得可行区域中，求函数cx的最小值点x． 注意：实际输入时，ｂ仍以行向量表示． 这个函数也有可选参数Tolerance，与前面的相同． 如用约束最小命令计算，输入 ConstrainedMin[2x-3y,{x+y10,x-y?2,x1},{x,y}] 改为用线性规划命令计算．输入 LinearProgramming[{2,-3},{{-1,-1},{1,-1},{1,0}},{-10,2,1}] 三、实验内容 1．投资的收益和风险 例23.1 (1998年全国大学生数学建模竞赛A题) 问题的提出 市场上有n种资产（如股票、债券、…）供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买的平均收益率为，并预测出购买的风险损失率为。考虑到投资越分散的风险越小，公司规定，当用这笔资金购买若干种资产时 ，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。 购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算。另外，假定同期银行存款利率是，既无交易费又无风险。 已知时的相关数据如下表 /% /% /% /元 28 2.5 1.0 103 21 1.5 2.0 198 23 5.5 4.5 52 25 2.6 6.5 40 试给该公司设计一种投资组合方案 ，即用给定的资金M ，有选择的购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 模型的分析与建立 这是一个优化问题，要决策的是向每种资产的投资额，要达到的目标包括两方面要求：净收益最大和总体风险最小，即本题是一个双目标优化问题。一般地，这两个目标是矛盾的，净收益愈大，风险也就随之增加，反过来也一样。因此，不可能提供这两个目标同时达到最优的决策方案。我们可以做到的只能是：在风险一定的前提下，取得收益最大的决策；或在收益一定的前提下，使得风险最小的决策；或是在收益和风险偏好比例的前提下的最优决策。这样，我们得到的不再是一个方案 ，而是一组方案供投资者选择。 设购买的金额为，所付的交易费记为，则