数值计算典型习题详解.pdf

数值计算典型习题详解 目录 一、插值 2 1、拉格朗日插值 2 2、牛顿插值4 二、数值积分7 1、龙贝格积分7 2、高斯积分 12 三、非线性方程求根 15 1、二分法 15 2、牛顿迭代法、弦截法 17 四、线性方程组求根 20 1、高斯消元法（含列主元高斯消元法）20 2、迭代法（高斯-赛德尔迭代、雅可比迭代）23 五、微分方程初值问题的数值解28 1、欧拉法（及改进欧拉法）28 2、龙格-库塔公式29 1 一、插值 1、拉格朗日插值 例1 利用二阶拉格朗日插值计算f(2.3) 。要求精确到小数点后2 位。 x 1 2 3 4 5 f(x) 0 3 4 2 6 【解】 1、利用二次拉格朗日插值公式计算，公式如下： 3 L3 (x ) ∑li (x )yi i 0 (x −x1 )(x −x 2 ) l 0 (x0 −x1 )(x0 −x2 ) (x −x0 )(x −x2 ) l 1 (x −x )(x −x ) 1 0 1 2 (x −x0 )(x −x1 ) l 2 (x2 −x0 )(x2 −x1 ) 2、取x0 1,y0 0 ；x1 2, y1 3 ；x2 3, y2 4 代入公式 (x −x1 )(x −x 2 ) l =−0.105 0 (x0 −x1 )(x0 −x2 ) (x −x0 )(x −x2 ) l 0.910 1 (x −x )(x −x ) 1 0 1 2 (x −x0 )(x −x1 ) l 0.195 2 (x2 −x0 )(x2 −x1 ) f 2.3 l y =+l y +l y 3.51 ( ) 0 0 1 1 2 2 2 例2 利用三阶拉格朗日插值计算f 2.5 。要求精确到小数点后2 位。 ( ) x 1 2 3 4 5 f x 0 3 4 2 6 ( ) 【解】 利用三次拉格朗日插值公式计算，公式如下： 3 L x l x y 3 ( ) ∑i ( ) i i 0 (x −x1 )(x −x 2 )(x −x3 ) l 0 (x0 −x1 )(x0 −x2 )(x0 −x3