9.4定积分的性质.ppt

一、定积分的基本性质 二、积分中值定理 上一页 下一页 主 页 返回 退出 * 若 f 在 [ a , b ] 上可积，k 为常数， 性质1 则 kf 在 [ a , b ] 上也可积，且 证 性质2 若 f , g 都在 [ a , b ] 上可积， 则 f ? g 在 [ a , b ] 上也可积，且 证 性质 1 与性质 2 称为定积分的线性性质，合起来即为 其中 为常数． 性质3 若 f , g 都在 [ a , b ] 上可积，则 f ● g 在 [ a , b ] 上可积． 证 因 f , g 都在 [ a , b ] 上可积，故在 [ a , b ] 上 都有界． 设 A 0 , B 0 ( 否则 f , g 中至少有一个恒为零值函数， 于是f ● g 也为零值函数，结论显然成立)． 由于 f , g 都可积，所以对任给的 ? 0，分别存在 分割 T ? , T? ，使得 令分割 T = T ? + T? ， 对于[ a , b ] 上属于分割T 的 每一个 ?i ，有 于是 因此 f ● g 在 [ a, b] 上可积. 性质4 f 在 [ a , b ] 上可积的充要条件是：对任何 c? ( a , b ) , f 在 [ a , c ] 与 [ c , b ]上都可积，且 证 [充分性] 若 f 在 [ a , c ] 与 [ c , b ]上都可积， 则对任给的 ? 0，分别存在对 [ a , c ] 与 [ c , b ] 的分 割 T ? , T? ，使得 [必要性] 因此, f 在 [a, b] 上可积. 在T上加入分点 c 得到新的分割 T* ．于是 已知 f 在 [ a , b ] 上可积，所以对任给的 ? 0，存在对 [ a , b ] 的某分割 T ，使得 T* 在 [ a , c ] 和 [ c , b ] 上的部分，分别构成对 [ a , c ] 和 [ c , b ] 的分割，记为 T ? , T? ，则有 所以 f 在 [ a , c ] 与 [ c , b ]上都可积． 下面证明 设 f 在 [ a , b ] 上可积，对 [ a , b ]作分割 T ，使 c 为其中的一个分点，这时 T 在 [ a , c ] 与 [ c , b ]上 的部分各自构成对[ a , c ] 与 [ c , b ]的分割，分别 记为 T ? , T? ，由于 公式 称为对积分区间的可加性． 当 f ( x ) ? 0 时，上式的 几何意义就是曲边梯形 面积的可加性． 公式 对 a , b , c 的任何大小顺序都成立． 例如，若 a b c , 从而 则有 例1 求 其中 解 其中第一个积分的 被积函数 f 在 x = 0 的值作了修改． 注 如果要求直接在[?1, 1] 用牛顿—莱布尼茨公式 来计算，这时原函数可取为： 性质5 若 f 在 [a , b] 上可积，且在在 [a , b] 上 则 证 因为在 [a , b] 上 所以 推论 若 f , g 在 [a , b] 上可积，且在 [a , b] 上 则 设 则 证 即 性质6 若 f 在 [ a , b ] 上可积，则 | f | 在 [ a , b ] 上 可积，且 证 因为 f 在 [ a , b ] 上可积，所以对任给的? 0， 存在对 [ a , b ] 的某分割 T ，使得 由于 故 于是有 所以 | f | 在 [ a , b ] 上可积． 因此证得 注 这个性质的逆命题不成立． 例如 在 [ 0, 1 ] 上不可积； 但 | f ( x )| ? 1，它在[ 0, 1 ] 上可积． 例2. 证明：若 f 在 [ a , b ] 上连续，且f ( x ) ? 0 , 则 证 用反证法． 假设有 x0 ? [ a , b ]，f ( x0 ) 0 , 则由连续函数的局部保号性，存在 x0 的某邻域 使得当 时， 有 于是 这与题设 相矛盾， 所以 ⑴ 若 f 在 [ a , b ] 上可积，f ( x ) ? 0 , 且存在 x0 ? [ a , b ]，使得 f 在 x0 连续， f ( x0 ) 0 , 则必有 ⑵ 若 f , g 都在 [ a , b ] 上可积，f ( x ) ? g ( x ) , 且存在 x0 ? [ a , b ]，使得 f , g 都在 x0 连续， 由上例的证明可得下述结论： f ( x0 ) g ( x0 ) , 则必有 ⑶ 若 f 在 [ a , b ] 上可积，f ( x ) 0 , 则必有 ⑷ 若 f , g 都在 [ a , b ] 上可积，f ( x ) g ( x ) ,