2014年折教版数学八上能力培优2.3～2.4等腰三角形的性质和判定.doc

2.3~2.4等腰三角形的性质和判定 专题 等腰三角形的性质和判定的综合应用 1． 如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE； ③△ADE的周长=AB+AC；④BF=CF．其中正确的是 2． 如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，AD+EC=AB．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？（4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由． 3． 如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．（1）请你写出图中所有的等腰三角形；（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．（3）如果BC=10，求AB+AE的长． 专题 等边三角形的性质和判定 4． 如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且A=3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO=PD，那么AP的长是 5． 如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程． 6． 如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 专题 最短路径问题 7．如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（　　） A．F和CB．F和EC．D和CD．D和E如图，现准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给、两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之和最小? (保留作图痕迹及简要说明) 1. ①②③ 【解析】∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC，∴△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．综上所述，命题①②③正确．故答案为①②③． 2. 解：（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C．∵AB=AD+BD=AD+EC, ∴BD=EC在△DBE和△ECF中 ， BE=CF，∠B=∠C，BD=EC， ∴△DBE≌△ECF（SAS）．∴DE=EF．∴DEF是等腰三角形．（2）∵∠A=40°，∠B=∠C， ∴∠B=∠C=70°．∴∠BDE+∠DEB=110°．∵△DBE≌△ECF， ∴∠FEC=∠BDE，∴∠FEC+∠DEB=110°，∴∠DEF=70°．（3）假设△DEF是等腰直角三角形即∠DEF=90°，∴∠BDE+∠DEB=90°．∴∠B=∠C=90°．这与三角形的内角和定理相矛盾，∴△DEF不可能是等腰直角三角形．（4）∠EDF+∠EFD=120°，即∠DEF=60°，∴∠FEC+∠DEB=120°，即∠B=60°．∵AB=AC，∴∠A=60°． 3. 解：1）△EDC和△ADE是等腰三角形2）AD⊥BE.理由如下：∵EA⊥AB，DE⊥BD，BE是△ABC的平分线，∴∠BEA=∠BED又AE=AD（角平分线上的点到两边距离相等）∴△EAO≌△EDO（O是AD，BE交点）∴∠AOE=∠DOE=90°，∴AD⊥BE（3）∵AB=BD，AE=ED=DC，∴AB+AE=BD+DC=BC=10 6 【解析】∵∠A+∠APO=∠POD+∠COD，∠A=∠POD=60°，∴∠APO=∠COD．在△APO和△COD中，∠A=∠C，∠APO=