2015-2016学年高中数学 2.4渐开线与摆线练习 新人教A版选修4-4.doc

2．4　渐开线与摆线预习梳理1．以基圆圆心O为原点直线OA为x轴建立平面直角坐标系可得圆的渐开线的参数方程为：________________________________________________________________________(其中r为基圆的半径)．在研究平摆线的参数方程中取定直线为x轴定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点建立直角坐标系设圆的半径为r可得摆线的参数方程为：______________________________________________________．预习思考　半径为8的圆的渐开线参数方程为(φ为参数)摆线参______________．, 预习梳理1.(φ为参数)(φ为参数)预习思考(φ为参数) 1．关于渐开线和摆线的叙述正确的是(　　)只有圆才有渐开线渐开线和摆线的定义是一样的只是绘图的方法不一样所以才能得到不同的图形正方形也可以有渐开线对于同一个圆如果建立的直角坐标系的位置不同画出的渐开线形状就不同半径为1的圆的渐开线的参数方程为(　　)(θ为参数)(θ为参数)(θ为参数) 2.C 3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程但是转化后的普通方程比较麻烦且不容易看出坐标之间的关系所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有(　　)　　　 ．3.C 4．基圆半径为2的渐开线的参数方__________．(φ为参数) 5．如下图所示是边长为1的正方形曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”其中AE的圆心依次按B循环它们依次相连接则曲线的长是(　　)　　　 ．π D．6π 5．C 6．已知摆线的生成圆的直径为80 则摆线的参数方程为____________________________________其一拱的宽为________拱高为________．(φ为参数)　80已知参数方程为(α为参数)则该圆的渐开线参数方程为__________________________摆线____________________________．(φ为参数)(φ为参渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为________________．8．(6，0)和(－6) 9．当φ＝时求出渐开线(φ为参数)上的对应点A并求出A间的距离．解析：将φ＝代入得x＝＋＝1＝－＝1.∴A将φ＝代入得x＝＋＝－1＝－＝(－1)．故A间的距离为＝＝ 10．已知圆的直径为2其渐开线的参数方程对应的曲线上两点A对应的参数分别为和求点A、B的直角坐标．解析：根据题设条件可知圆的半径为1所以对应的渐开线的参数方程为(φ为参数)．将φ＝x＝os＋＝＋＝－＝－点的坐标为.当φ＝时同理可求得B点的坐标为11．求摆线(φ为参数且0≤φ≤2)与直线y＝2的交点的直角坐标．解析：当y＝2时有2(1－)＝2＝0.又0≤φ≤2＝或φ＝当φ＝时＝－2；当φ＝时＝3＋2.∴摆线与直线y＝2的交点为(－2)，(3π＋)．设圆的半径为4沿x轴正向滚动开始时圆与x轴相切于原点O记圆上动点为M它随圆的滚动而改变位置写出圆滚动一周时M点的轨迹方程画出相应曲线求此曲线上纵坐标y的最大值．解析：依题意可知轨迹是摆线其参数方程为(φ为参数)．且0≤φ≤2其曲线是摆线的第一拱(0≤φ≤2)，如下图所示：易知当x＝4时有最大值8.已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．分析：首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4易得圆的面积再代入渐开线的参数方程的标准形式即可得圆的渐开线的参数方程．解析：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4所以面积是16该圆对应的渐开线参数方程是(φ为参已知一个圆的摆线过一定点(2)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．14．分析：根据圆的摆线的参数方程(φ为参数)只需把点(2)代入参数方程求出r的表达式根据表达式求出r的最大值再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．解析：令y＝0可得r(1－)＝0由于r＞0即得＝1所以φ＝2kk∈Z)．代入x＝r(φ－)，得x＝r(2k－)．又因为x＝2所以r(2k－)＝2即得＝又由实际可知r＞0所以r＝(k∈N)．易知当＝时取最大值为代入即可得圆的摆线的参数方程为(φ为参数)；圆的渐开线的参数方程为(φ为参数)．1．渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．渐开线上任一点M的坐标由圆心角φ(