2009年全国大学生数学建模竞赛选手选拔试题与答案.doc

2009年全国大学生数学建模竞赛选拔试题 时量：180分钟 满分：200分 系别： 专业： 学号： 姓名： 一、数学模型部分(共90分) 简述数学建模论文的基本结构。 答：应该主要包含论文标题，摘要，问题重述，问题分析，模型建立，模型求解，模型验证，模型分析与改进，模型评价，参考文献等内容。 简述数学建模论文摘要的要求及其应包含的主要内容。 答：摘要要用独立的一页来写，字数为300字左右。应该主要包含建模的思想，建模的方法，建立的模型，模型的求解，模型的改进，模型的评价，以及主要创新点和亮点。 试建立桌子在四条腿脚呈长方形时的数学模型，以说明桌子能否在地面上放稳的问题。 请把19共9个数字填入3乘以3的正方形格子使3个行中每个行的数字总和为153个列中每个列的数字总和也15两对角线数字总和也15 (1)?中间格数字为证明(2)?用推理或建立模型方法求出其它数字(说明求解)，最终结果请填入图 解方程得 x=5, a b c 1 5 9 m n k 中间格x22为5 数字1不能填对角,否则相应一个对角为9 而1对应行,列总和为14,而14=6+8仅有一种排法 由对称性有右图填法 ( 2分) 把余下数分3个一组,按总和为15分为 8 3 4 1 5 9 6 7 2 第一组(3,4,8)预放入第1行, 第2组(2,6,7) 预放入第3行 ( 2分) 调整次序不难得出右图最终结果 (2)别一法:利用上图列出方程 解空间是1维, 取k为自由变量(k=2,3,4,,6,7,8),取k=2时其它变量全为整数。 设一个鞋店平均每天卖出鞋100双，批发一次差旅费为每次200元，每双鞋每存储一天的费用为0.01元。请建立数学模型寻求最佳进货方式。即该鞋店每隔多少天批发一次，每次进货量为多少时，使费用最少。 解：设鞋店第隔x天批发一次货，每次进货量为y，则在一个进货周期内的费用共有： 只考虑不允许缺货的情况，即，则平均每天的费用有：， 考虑上式，当且仅当(天)时，平均每天的费用最小，此时每次进货2000(双)。 现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处。假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全回到巢穴？ 设开始时的人口数为，时刻的人口数为，若人口增长率是常数，则人口增长问题的马尔萨斯模型应为 （1） 。若人口增长率受现有人数的制约，并设当前最多能容纳的人数为，则Logistic模型为 （2） 。 （1） （2） 已知数学模型为，为求模型中的参数，测得数据如下表，请写出其Matlab程序。 y 20 40 60 80 100 x 1141 2019 2760 3413 4004 format long t=[20 40 60 80 100]; n=[1141 2019 2760 3413 4004]; T=t./n; A=polyfit(n,T) Z=polyval(A,n); z=Z.*n; plot(n,t,k+,n,z,r) 9、某人早上8时从山下旅店A处出发沿一条路径上山，下午6时到达山顶B处并留宿；次日早8时从山顶B处沿同一条路径下山，下午6时回到旅店A处。问此人是否必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点？为什么？ 10、附加题：(可以在下面两题中任选一题做) (1)、报童每天订购的报纸，批发价是a元，零售价是b元，如果卖不出去将以c元的价格退回给发行单位，每天买报人数不定，报童订报份数如超过实际需要，就要受到供过于求的损失；反之，要受到供不应求的损失。设P(r)是售出r份报纸的概率，试确定合理的订报份数，使报童的期望损失最小。 解：设报童每日采购n份报纸,当该日实际销售量r份时,报童每日的利润为: 则报童每日的利润为: 要使报童损失最小，或利润最在，则有：， (2)、医院为病人配制营养餐，要求每餐中含有铁不低于50单位，蛋白质不低于40单位，钙不低于42单位．假设仅有两种食品A和B可供配餐，相关数据见下表．试问，如何购买两种食品进行搭配，才