凸函数定义等价性的进一步探讨.pdf

30 6 Vol． 30 No． 6 第 卷 第 期 大庆师范学院学报 2010 11 JOURNAL OF DAQING NORMAL UNIVERSITY November ，2010 年 月 凸函数定义等价性的进一步探讨 张 金 ( ， 223800) 宿迁高等师范学校数学系 江苏宿迁 : ， 、 。 摘 要 凸函数在数学规划 最优化理论 变分不等式等领域中具有十分重要的作用 本文在已有凸函数文献基础 ， ， 。 上 讨论了凸函数的七种不同形式的定义 这些概念从不同方面刻画了凸函数的特征 为表明这些定义之间的等 ， ， 。 价性 对各种定义之间的等价性进行了完整的分析和证明 并对凸函数教学提出了进一步的改进与完善 : ; ; 关键词 凸函数 差异性 等价性 : (1978 － )，， ， ， 。 作者简介 张金 男 江苏宿迁人 宿迁高等师范学校数学系讲师 从事微积分研究 中图分类号:O174 ． 13 文献标识码:A 文章编号:2095 － 0063 (2010)06 － 0049 － 03 收稿日期:2010 － 04 － 11 0 引言 。 ， I ， ， 凸函数是一重要的概念 已有的文献中 在给定的区间 上 给出了凸函数多种不同形式的定义 并 对定义之间等价性作了分析与证明， ［1］～ ［5 ］。 I 见文献 下文拟对一般区间 上的凸函数最基本的定义作 ， 。 一概述 进一步探讨与证明它们之间的等价性 1 凸函数的基本定义 下面给出凸函数几种定义: 1 : f (x ) I ，f (x ) I ， :x ，x I ， 定义 设函数 在区间 上有定义 称为 上的凸函数 当且仅当  1 2 ∈ 有 x + x f (x )+ f (x ) f ( 1 2 2 ) ≤ 1 2 2 (1) 2 : f (x ) I ，f (x ) I