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第一章 一、自变量趋于有限值时函数的极限 第三节 自变量变化过程的六种形式: 二、自变量趋于无穷大时函数的极限 本节内容 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极限 一、自变量趋于有限值时函数的极限 1. 时函数极限的定义 例1. 有三个函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其函数解析式 如下所示。 分析这三个函数在 时的变化趋势。 （函数图像见黑板） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明： 由这三个函数的图像可以看出， 函数在某点 附近区域中的状态问题， 与函数在该点处是否有 定义无关； 与函数在该点处的函数值也无关。 例2. 设函数 取定点 研究这个函数在定点 附近的变化趋势. 由函数图像可知，当 时，对应的函数值 的绝对值无限制地增大。 它不可能无限地接近于 某一个常数 a . 定义1. 设函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点 处的一个去心邻域 内有定义， 如果当 时，函数值 无限接近于 某个确定的常数 A ， 那么就称当 时, 函数 的极限是 A 。 记作： 或 如果这样的常数 A 不存在，就称当 时, 函数 没有极限。 因此，在例1中， 而在例2中， 当 时, 函数 没有极限。 例3. 考察下列函数的极限是否存在， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果存在的话， 求出极限的值。 解： （C 为常数） （1）由于 即当 时，函数 的值也无限地接近于常数 C . 因此， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （2）由于 即当 时，函数 无限地接近于常数 3 . 因此， 的值 （3）由于 没有定义。 因此， 在 处 当 时, 即 时，函数 的值 无限地接近于常数 1 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故有： （4）由于 因此， 在 处无定义. 当 时，函数 的值在 -1 到 1 之间不断发生 振荡，在反复交替地进行着变化. 并且 x 的值越靠近 0 , 振荡越厉害. 因此， 当 时， 都无法接近于某一个确定的常数 a.故: 不存在. 2. 左极限与右极限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点 的一个左邻域内有定义， 如果当 时，函数 无限接近于某个确定的 常数 A ，那么称当 时, 函数 的左极限是 A 。 记作： 或 定义2. 设函数 定理1.（函数极限与左右极限的关系） （同理可定义函数在某点处的右极限） 例4. 设函数 讨论 时 的极限是否存在 . 解: 利用定理 1 . 因为 显然 所以 不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、自变量趋于无穷大时函数的极限 定义2 . 设函数 大于某一正数时有定义, 几何解释: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果当 时，函数值 无限接近于某个确定 的常数 A ， 那么称当 时, 函数 的极限是 A 。 记作： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义3. 设函数 f (x) 在 x 大于某一正数时有定义, 如果当 时，函数值 无限接近于某个确定 的常数 A ， 那么称当 时, 函数 的极限是 A 。 记作： 或 定义4. 设函数 f (x) 在 x 小于某一负数时有定义, 如果当 时，函数值 无限接近于某个确定 的常数 A ， 那么称当 时, 函数 的极限是 A 。 记作： 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2. 定义5. （水平渐近线） 如果 或者 或者 则称直线 是函数 的一条水平渐近线. 例如， 都有水平渐近线 都有水平渐近线 又如， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *三、函数极限的性质 1.唯一性 2.局部有界性 3.局部保号性 内容小结 1. 函数极限的定义及应用 2. 函数极限的性质 思考与练习 1. 若极限 存在, 2. 设函数 且 存在, 则 是否一定有 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 ？