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台球中的物理 摘要：台球运动是一项推广广泛并深受人们喜爱的运动。我们在欣赏高水平台球比赛时，时常惊呼运动员那高超的台球技艺，母球在碰撞后旋转有时会停住不动，有时会向前滚进，有时又会往回运动。本文通过基本的理论力学知识动量守恒、能量守恒等来简单介绍台球中的安全击球范围以及最简单的两种旋转：上旋和下旋，以此来分析推杆球和拉杆球的形成和碰撞情况。通过科学地解释台球运动的基本现象，来更加深入地学习物理知识。 关键字：刚体、动量守恒、能量守恒 安全击球范围 用球杆击打主球而不至于打滑的范围称为安全击球区。台球可视为光滑、匀质、球形刚体，从物理学角度说，台球可以作为刚体运动来研究。 下面右图确定安全击球区的范围: 根据图1,不发生滑杆的条件是击球杆皮头在击点的切线方向受到的摩擦力f ( f = Fsinβ) 不超过最大静摩擦力f 0 ( f 0 =μ0 Fcosβ) 。 其中μ0 为球和球杆之间的静摩擦系数,β为击球角度,即μ0 tgβ(假定每次都是水平击球) 根据图1，可以知道sinβ=h/R,β=arcsinh/R,则由 μ0 tgarcsinh/R解得 hRsinarctgμ0 击球时可以大致根据撞击点与中心水平距离h，使球杆击打主球而不至打滑。 图1 击球受力图 击球位置 撞击主球中上点(推杆球) 如下图所示： 撞击主球中下点(拉杆球)如下图所示： 图2 沿水平方向打击球的上半部 图3 沿水平方向击打球的下半部 其中假设台球质量为M ,半径为R ,受到球杆沿水平方向击打的冲击力为F ,力的水平作用线距球心的距离为h。 由日常打击台球的经验得，推杆球母球撞击目标球后会继续向前滚动，而拉杆球母球在撞击目标球后会往回滚动。 与目标球碰撞后主球运动的力学分析 台球可视为光滑、匀质、球形刚体,所以台球的碰撞可视为无摩擦、对心碰撞,碰撞过程中不会改变彼此的转动动量矩; 另一方面,台球是等质量的,如果不考虑能量损失,碰撞后主球将其法向冲量全部传递给目标球,切向方向动量不变,如图5所示。 图5 碰撞俯视图 图5中，定义偏角α:目标球行进方向与主球撞前行进方向的夹角。 假定平动速度V ,转动速度为ω的主球,以偏角α撞击目标球,则目标球以V 水平(V 水平= Vcosα) 速度沿法线方向( x 轴的正方向) 运动,而主球保持原来的转动速度,以速度V 垂直(V 垂直= Vsinα) 向切向方向( Y轴方向) 运动。 §1.主球为下旋球时 设在作下旋滚动的A 球沿X 轴正方向运动,如图6 所示。而后与其正前方的一个静止的B 球发生了正碰。根据刚体的动量守恒和能量守恒定律可知: 又A、B两台球质量相等，初始A球运动B球静止，因此相撞后两球的平动速度互换,而A 球的转动速度ω不变。如图7所示。相撞后, A 球将沿逆时针转动,并朝着X 轴负方向推去,形成“缩杆球”。 图6 碰撞前 图7 碰撞后 下面分析相撞后A 球(主球) 的运动情况。相撞后A 球的平动速度: v′= 0 A 球沿逆时针转动的角速度ω′ ω′= - Ph/ I +μgMRt′/ I = - 5/ 2 R[ Ph/ MR - μgt′] 则A 球与桌面接触点的速度为: V = 0 - Rω′= 5/ 2[ Ph/ MR - μgt′] 0 显然,接触点沿X 轴正向滑动,故施于A 球的摩擦力朝负X 方向, Ff = - μM g , Ff 施于相对于球心的力矩Ff R为顺时针方向。 若从两球相撞后分开瞬间开始计时,则相撞后t 时刻A 球球心的平动速度V ″和转动角速度ω″分别为: v ″= - μgt ω″=ω′+μgMRt/ I =ω′+ 5μgt / 2 R 则A 球与桌面接触点的速度为: V″= v ″- Rω″= - μgt - Rω′- 5μgt/ 2 R 令V″= 0 ,可得所需时间: t0″= 5/ 7μg[ Ph/ MR - μgt′] 当t ≥