偏微分方程PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION(P.D.E).pptVIP

偏微分方程PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION(P.D.E) 分离变量法 1. 有界弦的自由振动 物理意义 例 2. 有界弦的强迫振动 3. 有界细杆的热传导方程 4. 矩形薄板的热传导方程 5. 椭圆方程 6. 柱域上的分离变量法和Bessel函数 7. 球域中的分离变量法、 Legendre多项式 8. 本征值理论 利用分离变量法 （4.1） （4.2） （4.3） （4.6） （4.5） （4.4） 再设 （4.7） （4.8） （4.9） 由边界条件 从而有 且 代入（4.4）可得 于是 特解的叠加 系数的确定 （二重Fourier级数展开式） 若 则 以前的定解问题所在的区域都是区间或矩形域，均采用直角坐标系。但如果定解区域为圆形、圆柱形或者球形是，采用直角坐标系难以适用，而采用极坐标系、柱坐标系或者球面坐标系。 （5.1） 作自变量变换 演算过程 原定解问题转化为 （5.2） 下面采用分离变量法来求解。为此，令 代入，即得 分离变量 （5.3） （5.4） （5.5） （5.6） （5.7） 周期性条件 自然边界条件 现在求解本征值问题（5.4）-（5.5） 其通解为 这不是周期函数 其通解为 这不是周期函数 是周期函数 其通解为 为了满足（5.5），必须 本征值为 本征函数为 代入（5.6） 欧拉方程 特解叠加 系数确定 正交列 的解为 圆的Poisson积分 柱坐标系 * * 许多物理现象都具有叠加性：由几种不同原因同时出现时所产生的效果，等于各个原因单独出现时所产生的效果的叠加，这就是物理学中的叠加原理。 在解决数学中的线性问题时，可应用物理学中的叠加原理。 分离变量法又称Fourier方法，而在波动方程情形也称为驻波法。它是解决数学物理方程定解问题中的一中基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动和电磁振动（总可分解为一些简谐振动的叠加） 波动方程 有界弦的自由振动 热传导方程 椭圆方程 一维情形 高维情形 有界弦的强迫振动 齐次方程 非齐次方程 周期性条件 自然边界条件 一维情形 高维情形 (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) 首先设法找到所有具有变量分离形式的满足方程（1.1）和边界条件（1.2）的非零特解。这些非零特解的线性叠加仍满足方程和边界条件。 所谓函数 u(x,t) 具有变量分离形式，即它可表示为 (1.5) (I) 将（1.5）代入方程（1.1）和边界条件（1.2）得到 即 以及 (1.6) (1.7) (1.6)式中，左端是t的函数，右端是x的函数，由此可得只能是常数，记为 。从而有 (1.8) (1.9) (1.10) (II) 本征值问题 (1.9) (1.10) 情形（A） 情形（B） 其通解为 由(1.10)，可推出 只有零解。 其通解为 由(1.10)，可推出 只有零解。 情形（C） 方程的通解为 由边界条件X(0) = 0推出 再由 知道为了使 必须 于是有 这样就找到了一族非零解 本征值 本征函数 (1.11) (1.12) 由此，就得到方程（1.1）满足边界条件（1.2）的变量分离的非零特解 代入(1.8)可得 (1.13) 其通解为 (III) 特解的叠加 为了求出原定解问题的解，还需满足初始条件（1.3）。 一般来讲，前面求出的特解不一定满足初始条件。 为此，我们把所有特解 叠加起来，并使之满足初始条件，即取 使得 (1.14) (1.15) (1.16) 因此， 应分别是 在[0, L]区间上 正弦展开的Fourier级数的系数，即 (1.17) (1.18) 这样，我们就给出了混合问题（1.1）-（1.4）的形式解（1.14），其中系数由公式（1.17）和（1.18）给出。 是[0, L]上的正交函数列 是[0, L]上的正交函数列 分离变量法的解题步骤 第一步 第二步 第三步 令 适合方程和边界条件， 从而定出 所适合的常微分方程齐次边值问题，以及 适合的常微分方程。 本征值问题 求解该常微分方程齐次边值问题，求出全部本征值和本征函数，并求出相应的 的表达式。 将所有变量分离形式的特解叠加起来，并利用初始条件定出所有待定系数。 其中 对任意时刻 这说明，任一时刻弦的形状都是正弦波， 其振幅 随不同的时间 而不同。 对任意一点 这表示在任意一点 处都作简谐振动。 节点 固有频率 令 是齐次方程和齐次边界条件的非零解 则有 故有 其中 (2.1) (2.2) (2.3) (2.4) 方法一 方法二 齐次化原理 分离变量法 齐次化原理: 若 混合问题 的解，则 (2.6) (2.5) 就是