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单纯形法的计算步骤 3）进行最优性检验 如果表中所有检验数 ，则表中的基可行解就是问题的最优解，计算停止。否则继续下一步。 4）从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解，列出新的单纯形表 确定换入基的变量。选择 ，对应的变量xj作为换入变量，当有一个以上检验数大于0时，一般选择最大的一个检验数，即： ，其对应的xk作为换入变量。 确定换出变量。根据下式计算并选择θ ，选最小的θ对应基变量作为换出变量。 单纯形法的计算步骤 用换入变量Xk替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。 5）重复3）、4）步直到计算结束为止。 数学解释 经济解释 检验数σj 单位变量增加带来目标函数变化值 单位产品产量增加带来的净利润变化值 最小比值θj 确保在迭代过程中所有变量的值非负，即每步得到的解均为基可行解。 确保在增加产品产量的过程中，不超过现在的资源限量。 单纯形法的进一步讨论－人工变量法 一、人工变量法： 前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位矩阵，为了得到一组基向量和初始基可行解，在约束条件的等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加的变量称为人工变量，构成的可行基称为人工基，用大M法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称为人工变量法。 　　1、大M 法 　　通过引进人工变量，构造一个辅助的线性规划问题，然后由辅助的线性规划问题找出原问题的第一个初始可行基，在此基础上，利用单纯形方法求出原问题的最优解。 2、两阶段法 　　在原来问题引入人工变量后分两个阶段求解线性规划问题的方法。其中，第一阶段在原来问题中引入人工变量，设法构造一个单位阵的初始可行基，另外在目标函数中令非人工变量的系数全部为0，人工变量的系数为1，构造一个新的辅助目标函数。在此基础上，建立辅助线性规划问题。然后运用单纯形方法求解，直到辅助目标函数值为0时为止。第二阶段重新回到原来的问题，以第一阶段得到的可行基为初始可行基，运用单纯形方法以求出原来问题的解。 　　3)两阶段法的计算步骤 　（1）不考虑原问题是否存在基可行解， 引进人工变量，构造辅助线性规划问题。 　（2）用单纯形方法求解辅助问题，若辅助问题的目标函数值w≠ 0，则原问题无可行解，停止计算。 （3）若辅助问题目标函数的值w =0，则将第一阶段计算得到的最终表，除去人工变量，将目标函数行的系数换原问题的目标函数系数，作为第二阶段的初始表。 　　4）解的判断同单纯形法 单纯形法的进一步讨论－人工变量法 解的判别： 1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零,且基变量中无非零的人工变量，则线规划具有唯一最优解。 2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零,且基变量中无非零的人工变量，则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。 3）无界解判别：某个σk0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性规划具有无界解。 4）无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并且存在人工变量0时，则表明原线性规划无可行解。 5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。 二、退化、循环及其处理方法 1、退化 单纯形法计算中用θ规则确定换出变量时，有时存在两个以上相同的最小比值，这样在下一次迭代中就有一个或几个基变量等于零，这就出现退化解。 2、退化迭代的特点 （1）退化解的基变量中至少有一个取值为0。 （2）退化迭代中基在不断变化但解始终不变。 （3）退化迭代不会引起目标函数值的改进。 3、防止循环迭代的方法 （1）摄动法 （2）字典顺序法 （3）最小下标法 单纯形法小结 建 立 模 型 个 数 取 值 右 端 项 等式或 不等式 极大或极小 新加变量目标系数 两 个 三个 以上 xj≥0 xj无 约束 xj ≤ 0 bi ≥0 bi 0 ≤ = ≥ maxZ minZ xs xa 求解 图解法、 单纯形法 单纯形法 不 处 理 令xj = xj′ - xj″ xj′ ≥0 xj″ ≥0 令 xj’ = - xj 不 处 理 约束条件两端同乘以-1 加松弛变量xs 加入人工变量xa 减 去 xs 加入 xa 不 处 理 令 z′=- Z minZ =－ max z′ 0 -M