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多媒体教学课件 复变函数论  第五章 留数理论 第5.1节 留数及其计算 第5.2节 留数定理及其推广 第5.3节 应用于积分计算 第5.4节 辐角原理和儒歇定理 第5.1节 留数及其计算 先计算积分 这是一个广义积分，它显然是收敛的。我们应用留数定理来计算它。 考虑函数 这个函数有两个二阶极 点，在上半平面上的一 个是z=i。 作以O为心、r为半径的圆盘。考虑这一圆盘在上半平面的部分，设其边界为 。取r1，那么z=i包含在 的内区域内。沿 取f(z)的积分，则有 现在估计积分 ，有 因此 令 ，就得到 上式右端是与r无关的常数，也就是说计算实积分最后剩下的来计算环绕孤立起点z=i的积分之值，将右端积分乘 称为在z=i处的留数（即残留之意） 注解：以上是一个具有普遍意义的 事实，即计算实或复积分 往往化成计算环绕某些孤立起点处的积分，即计算留数。 1.留数的概念 设函数f(z)在点z0解析。作圆 等于零。 设函数f(z)在区域0| z-z0|R内解析。选取r，使0rR，并且作圆 那么如果f(z)在z0也解析，则上面的积分也等于零； 使f(z)在以它为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西定理，积分 定义5.1 如果z0是f(z)的孤立奇点，则上述积分就不一定等于零；这时，我们把积分 留数的概念 定义为f(z)在孤立奇点z0的留数，记作 这里积分是沿着C按反时针方向取的。 注解 注解1、我们定义的留数Res(f, z0) 与圆C的半径 r无关：事实上，在0| z-z0|R内，f(z)有洛朗展式： 而且这一展式在C上一致收敛。逐项积分，我们有 因此， 注解 注解2、即f(z)在孤立奇点z0的留数等于其洛朗级数展式中 的系数。 注解3、如果z0是f(z)的可去奇点，那么 留数的求法 方法一：前述 方法二：设z0为f的一阶极点，则 方法三： 其中P(z)及Q(z)在 解析，且 留数的求法 方法四：。设z0是f(z)的一个m阶极点(m1)。则在 z0附近有 其中， 在 z0解析，且 ，则 因此 2.在无穷远点的留数 设函数 f (z)在圆环域 R|z|?内解析, C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线, 则积分 的值与C无关, 称其为f (z)在?点的留数, 记作 f (z)在圆环域 R|z|?内解析： 理解为圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。 这就是说, f (z)在?点的留数等于它在?点的去心邻域 R|z|+?内洛朗展开式中 z-1 的系数变号. 第5.2节 留数定理及其推广 定理5.1（留数定理）设D是由复合闭路 所围的有界多连通域。设f(z)在D内除去有孤立奇点 外解析，并且连续到C，则： 这里沿C的积分按关于区域D的正向取的。 留数定理的基本思想 留数定理的证明 ： 证明：以D内每一个孤立奇点zk为心，作圆Ck， 使以它为边界的闭圆盘上每一点都在D内，并且 使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点。从D中 除去以这些Ck为边界的闭圆盘的一个区域G， 其边界是C以及Ck， 在G及其边界所组成的闭区域上，f(z)解析。因此根据柯西定理， 这里沿C的积分按关于区域D的正向取的，沿Ck 的积分按反时针方向取的。根据留数的定义， 得定理的结论成立。 留数定理的证明 ： 注解1、留数定理在两个从定义上看，完全不同，也不相干的概念之间架起一个桥梁，是非常重要的。 注解2、具体计算一定要注意前面的系数 定理5.2 如果 f (z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点, 那末 f (z)在所有各奇点(包括?点)的留数总和必等于零. 证：除?点外, 设f (z)的有限个奇点为zk(k=1,2,...,n). 且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,...,n)包含在它内部的正向简单闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有 注：定理5.2给出了扩充复平面内只有有限个孤立奇点时的关系，是一个方程，说明此类问题实际计算时可以转化求解； 所以方法五 成立. 例 5.9 发现在|z|4有五个孤立起点，故可以将问题转化为求无穷远点的留数 2.推广的留数定理 若孤立起点在边界上时，可以将留数定理进行推广： 设D是由复合闭路 所围成的有界多连通域，