微分方程的Matlab求解.pptVIP

* * Matlab中求微分方程（组）的解析解命令为: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’) 记号: 在表达微分方程时，用字母D表示求微分，D2、D3等表示求高阶微分.D后所跟的字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为缺省. 例如，微分方程 应表达为：D2y=0. 微分方程的解析解 解: 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x) 结 果 为 : y =3e-2xsin(5x) 结 果：u = tan(t-c) 解 输入命令 ： s=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； s.x % 查看结果 s.y s.z x=simple(s.x) %简化结果 y=simple(s.y) z=simple(s.z) 结 果 为： x =-(-C1-C2*exp(-3*t)+C2-C3+C3*exp(-3*t))*exp(2*t) y =(-C1*exp(-4*t)+C1+C2*exp(-4*t)+C2*exp(-3*t)-C2+C3-C3*exp(-3*t))*exp(2*t) z = (-C1+exp(4*t)*C1-2*exp(4*t)+C2+exp(4*t)*C3)*exp(-2*t) 用Matlab软件求常微分方程的数值解 [t，x]=solver（’f’,ts,x0,options） ode45 ode23 ode113ode15sode23s 由待解方程写成的m-文件名 ts=[t0，tf]，t0、tf为自变量的初值和终值 函数的初值 ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法 ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法 自变量值 函数值 用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6), 命令为：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）, rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差. 1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成. 2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须变换成等价的一阶微分方程组. 注意: 解: 令 y1=x，y2=y1’ 1、建立m-文件如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1); 2、取t0=0，tf=3000，输入命令： [T,Y]=ode15s(vdp1000,[0 3000],[2 0]); plot(T,Y(:,1),-) 3、结果如图 解 1、建立m-文件如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2); 2、取t0=0，tf=12，输入命令： [T,Y]=ode45(rigid,[0 12],[0 1 1]); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+) 3、结果如图 图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线. 慢跑者与狗 一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的速率v=1跑步,设椭圆方程为: x=10+20cost, y=20+5sint. 突然有一只狗攻击他. 这只狗从原点出发,以恒定速率w跑向慢跑者,狗的运动方向始终指向慢跑者.分别求出w=20,w=5时狗的运动轨迹. 1. 模型建立 设时刻t慢跑者的坐标为(X(t)，Y(t))，狗的坐标为(x(t)，y(t)). 则X=10+20cost, Y=20+15sint, 狗从(0,0)出发,与导弹追踪问题类似，建立狗的运动轨迹的参数方程: 返回 2. 模型求解 (1) w=20时,建立m-文件如下: function dy=eq3(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=20*(10+20*cos(t