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* * 数格点 算面积 徐州市第十三中学 董 磊 2010年10月28日 恳请各位专家同仁批评指正！ 数学综合与实践活动 哥哥说：“我的地一圈只有15棵树，而弟弟的地一圈有17棵树，弟弟的面积大！” 弟弟说：“我的地里只有16棵树，而哥哥的地里有17棵树，哥哥的面积大！” A B C D E 如图，网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻平行线之间的距离相等，这两组平行线的交点称为格点.如果一个多边形的顶点都在格点上，那么多边形叫做格点多边形. 格点 格点 多边形 预备知识 A B C D E 若格点多边形的面积为S，多边形边上的格点数为L，它内部的格点数为N. 面积 S＝17.5 边上的格点数 L＝9 内部格点数 N＝14 活动任务 试探究出S与L 、 N之间的数量关系. ① ② ③ 2 6 0 ② 3 8 0 ③ 1 4 0 ① 面积S 边上格点数L 内部格点数N 图形序号 活动一 探究N＝0的格点多边形的S与L之间的数量关系． ① ② ③ 2.5 5 1 ② 4.5 9 1 ③ 2 4 1 ① 面积S 边上格点数L 内部格点数N 图形序号 活动二 探究N＝1的格点多边形的S与L之间的数量关系． ① ② ③ 4 6 2 ② 6 10 2 ③ 3 4 2 ① 面积S 边上格点数L 内部格点数N 图形序号 活动三 探究N＝2的格点多边形的S与L之间的数量关系． ① ② ③ 4.5 5 3 ② 5 6 3 ③ 4 4 3 ① 面积S 边上格点数L 内部格点数N 图形序号 活动四 探究N＝3的格点多边形的S与L之间的数量关系． 2 6 0 3 8 0 1 4 0 S L N 2.5 5 1 4.5 9 1 2 4 1 S L N 4 6 2 6 10 2 3 4 2 S L N 4.5 5 3 5 6 3 4 4 3 S L N 通过以上活动，探究任意格点多边形的S与L、N之间存在什么数量关系，试继续通过画图验证你们的结论． 活动五 2 6 0 3 8 0 1 4 0 S L N 2.5 5 1 4.5 9 1 2 4 1 S L N 4 6 2 6 10 2 3 4 2 S L N 4.5 5 3 5 6 3 4 4 3 S L N 通过以上活动，探究任意格点多边形的S与L、N之间存在什么数量关系，试继续通过画图验证你们的结论． 活动五 如果格点多边形的面积为S，多边形内部格点数为N，它边上的格点数为L，那么S与N、L之间存在如下的数量关系： A B C D E 奥地利数学家皮克（Georg Alexander Pick，1859～1943）在1899年发现了上述公式，并进行了证明.这个公式被称为“皮克定理”，该定理被誉为有史以来“最重要100个的数学定理”之一. 定理学习 把一个多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形； 把一个多边形的一边向两方延长，如果其他各边分别位于延长所得直线的两旁，这样的多边形叫做凹多边形. L＝6 N＝7 S＝9 L＝8 N＝5 S＝8 请你在下面的网格中设计一个格点多边形，并利用上述定理求出各格点多边形的面积． 活动六