数实验03.ppt

机动 上页 下页 返回 结束 数学实验 注意: 使用Matlab 软件求数值解时,高阶微分方程必 须等价地变换成一阶微分方程组. 例8. 解 Van der pol 方程 解: 令 y1=x(t), y2 = x ?(t) . 等价地变换成一阶微分方程组 相当于x ??(t) 机动 上页 下页 返回 结束 数学实验 输入: y=dsolve(Dy1=y2,Dy2=(1-y1^2)*y2-y1,… y1(0)=3,?y2(0)=0?,x) y = [ empty sym ] 输出: 表示无解析解. 机动 上页 下页 返回 结束 数学实验 先编写函数m文件 ( 文件名为 fShiYan3_9.m): function yp = fShiYan3_9 (t,y); yp=[y(2);(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)]; 然后编写程序如下: 求数值解: clear [t,y]=ode23(fShiYan3_9,[0,20],[3,0]); y1=y(:,1); %原方程的解x(t) y2=y(:,2); plot(t,y1,t,y2,r--) %y1(t),y2(t) 曲线图 figure plot(y1,y2),grid %相轨迹图, 即y2(y1)曲线 机动 上页 下页 返回 结束 数学实验 计算结果 蓝色曲线 —— y(1) (原方程解x(t)) 红色曲线 —— y(2) (相当于x?(t)) 机动 上页 下页 返回 结束 数学实验 机动 上页 下页 返回 结束 数学实验 例9. 求解 Lorenz 方程 其中参数 ? =8/3，? =10，? =28 解：先编写函数m文件 (文件名: fShiYan3_10.m) function xdot=fShiYan3_10 (t,x) xdot=[-8/3,0,x(2);0,-10,10; -x(2),28,-1]*x; 三行三列的函数矩阵 三维列向量 机动 上页 下页 返回 结束 数学实验 然后输入以下程序求数值解并画三维相平面轨线图. x0=[0 0 0.1]; [t,x]=ode45(fShiYan3_10,[0,10],x0); plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*,t,x(:,3),o) figure plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)) grid on 计算结果如下页图. 机动 上页 下页 返回 结束 数学实验 图中x1的图形为实线(蓝）,x2的图形为“*”线（绿）, x3的图形为“o”线（红）.取[t0 , tf]=[0 , 10]。 机动 上页 下页 返回 结束 数学实验 三维相平面轨线图 机动 上页 下页 返回 结束 数学实验 若自变量区间取[0,20]、[0,40],计算结果如下： 曲线呈震荡发散状 三维图形的混沌状 机动 上页 下页 返回 结束 数学实验 范例1：追击路线问题 一艘缉私舰雷达发现距 c km 处有一艘走私船 正以匀速 a 沿直线行驶。 缉私舰立即以最大的速 度 b 追赶， 度方向始终指向走私船。 试求缉私舰追逐路线和 追上的时间。 若用雷达进行跟踪, 保持船的瞬时速 机动 上页 下页 返回 结束 数学实验 0 (c, 0) x y D R 1. 假设： 解. 建立坐标系如图. (1). 缉私船在(c,0)处发现走私船在(0,0)处. (2). 走私船逃跑方向为y 轴方向. (3). t 时刻，走私船到达 R(0, a t ) 点, 缉私舰到达 D (x , y) 点. 2. 分析 (1). 当 a b 时, 走私船所用的时间为:t = y/a 缉私船一定能追上走私船。 (2). 当 a ? b 时, 显然缉私船不可 能追上走私船。 ? 机动 上页 下页 返回 结束 数学实验 0 (c, 0) x y D R (0, a t ) (x , y) x y 3. 建立模型 D ? R x a t –y 化简 对t 求导 化简 (1) 机动 上页 下页 返回 结束 数学实验 (1) (2) 综合(1), (2)得微分方程模型： 此方程不存在解